【python数学建模】特征值与特征向量运用

1、求数列通项

（1）转化为求矩阵的幂次问题

例：求斐波那契数列的通项公式
已知斐波那契数列满足：$F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$

（a） 降阶：将二阶差分方程转化为一阶差分方程组

$\{\begin{array}{l}{F}_{k+1}=F_{k+1}\\ F_{k+2}=F_{k+1}+F_k\end{array}$ 写成矩阵形式：$a_{k+1}=A{a}_{k}k=0,1,2,...$
其中$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right),a_k=\left(\begin{array}{c}{F}_k\\ F_{k+1}\end{array}\right),a_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$
推导得有：$a_k=A^k{a}_0$

（b） 求矩阵的Jordan标准形
矩阵的特征方程为：${\lambda }^2-\lambda -1$，特征根为$\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$，特征向量为$,\left(\begin{array}{c}\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right)$，取特征向量为列向量构成矩阵$P$
则有$A=P\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right)P^{-1}$
从而$a_k=A^k{a}_0$，斐波那契数列的通项公式为$a_k$的第一行元素。

（c） python实现

import sympy as sp
sp.var('k',positive=True,integre=True)
a=sp.Matrix([[0,1],[1,1]])
val=a.eigenvals()
vec=a.eigenvects()
P,D=a.diagonalize()
ak=P@(D**k)@(P.inv())
F=ak@sp.Matrix([1,1])
print(sp.latex(sp.simplify(F[0])))

求出通项公式为：$F^k=\frac{2^{-k}\left(2{\left(1-\sqrt{5}\right)}^k+\sqrt{5}{\left(1+\sqrt{5}\right)}^k+3{\left(1+\sqrt{5}\right)}^k\right)}{\sqrt{5}+5}$
取值：

f = sp.lambdify(k,F[0])
print(f(9))

（2）特征根法求通项

由于斐波那契数列的特征根是互异的，故可设通项为：
$$F_k=c_1(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^k+c_2(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^k$$
代入初值条件求解上述二元一次方程：$F_0=F_1=1$
$$\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2=1\\ c_1(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+c_2(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=1\end{array}$$
解得$\{\begin{array}{l}c1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10}\\ c2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10}\end{array}$，从而得到通项公式。

python实现：

import sympy as sp
x=sp.symbols('x')
c=sp.symbols('c:2')
f=sp.Eq(x**2,x+1)
vals=list(sp.solveset(f))
eq1=c[0]+c[1]-1
eq2=c[0]*vals[0]+c[1]*vals[1]-1
s=sp.solve([eq1,eq2])

（3）利用rsolve函数求解有理系数单变量递推式

import sympy as sp
k=sp.symbols('k')
y=sp.Function('y')
f=y(k+2)-y(k+1)-y(k)
F=sp.rsolve(f,y(k),{y(0):1, y(1):1})

2、Leslie种群模型

3、Pagerank算法