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洛谷题解 | AT_abc321_c Primes on Interval

news 2025/8/16 1:40:13

题目翻译

【题目描述】
你决定用素数定理来做一个调查. 众所周知, 素数又被称为质数，其含义就是除了数字一和本身之外不能被其他任何的数字除尽.

现在给定一个正整数序列 $a,a+1,\cdots,b$ $\le b)$ , 请找出一个最小值 $l$ , 使其满足对于任意一个长度为 $l$ 的子串, 都包含 $k$ 个质数.

找到并输出符合要求的最小值 $l$ , 如果不存在符合要求的长度 $l$ , 则输出 $- 1$ .

【输入格式】

输入一行, 包含三个用空格隔开的整数 $a, b, k$ ( $\le a,b,k \le 10^{6}; a \le b$ )

【输出格式】
输出一行, 为符合要求的最小值 $l$ , 若不存在, 输出 $- 1$ .

题目描述

You’ve decided to carry out a survey in the theory of prime numbers. Let us remind you that a prime number is a positive integer that has exactly two distinct positive integer divisors.

Consider positive integers $ a $ , $ a+1 $ , $ … $ , $ b $ $ (a<=b) $ . You want to find the minimum integer $ l $ $ (1<=l<=b-a+1) $ such that for any integer $ x $ $ (a<=x<=b-l+1) $ among $ l $ integers $ x $ , $ x+1 $ , $ … $ , $ x+l-1 $ there are at least $ k $ prime numbers.

Find and print the required minimum $ l $ . If no value $ l $ meets the described limitations, print -1.

输入格式

A single line contains three space-separated integers $ a,b,k $ ( $ 1<=a,b,k<=10^{6}; a<=b $ ).

输出格式

In a single line print a single integer — the required minimum $ l $ . If there’s no solution, print -1.

样例 #1

样例输入 #1

2 4 2

样例输出 #1

样例 #2

样例输入 #2

6 13 1

样例输出 #2

样例 #3

样例输入 #3

1 4 3

样例输出 #3

-1

题目简化

求一个区间内，任意长度为 $l$ 的子串中都包含 $k$ 个质数的最小 $l$ 。

题目思路

初始化一个数组存储从 $2$ 开始的所有素数。初始化后，这个数组中所有值都是 true，表示对应的数是素数。

使用埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）来找出所有小于 $M A X$ 的素数。这个算法的主要思想是，如果一个数不是素数，那么它必定有一个因子小于或等于其平方根。因此，我们只需要检查到每个数的平方根即可。

在主循环中，读取三个输入： $a$ , $b$ 和 $k$ 。然后，创建一个队列 $q$ 并把 $a - 1$ 放入队列。

接下来，进行一系列操作来找出在区间 $\text [a, b]$ 中，长度为 $k$ 的所有素数子序列。如果存在这样的子序列，那么就更新 $res$ 的值。

如果 $q$ 的头部元素是 $a - 1$ ，那么就输出 $\texttt -\texttt 1$ ，否则输出 $res$ 。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define li        long long int
#define rep(i,to) for(li i=0;i<((li)(to));++i)
#define pb        push_back
#define sz(v)     ((li)(v).size())
#define bit(n)    (1ll<<(li)(n))
#define all(vec)  (vec).begin(),(vec).end()
#define each(i,c) for(__typeof((c).begin()) i=(c).begin();i!=(c).end();i++)
#define MP        make_pair
#define F         first
#define S         second#define MAX 1000500
li is_prime[MAX];int main()
{rep(i, MAX)if(2 <= i) is_prime[i] = true;for(li i = 2; i * i < MAX; i++){if(!is_prime[i]) continue;for(li j = i * i; j < MAX; j += i) is_prime[j] = false;}li a, b, k;cin >> a >> b >> k;queue<li> q;li res = -1;q.push(a - 1);for(li pos = a; pos <= b; pos++){if(is_prime[pos]) q.push(pos);while(k < sz(q)) q.pop();if(sz(q) == k) res = max(res, pos - q.front() + 1);}if(q.front() == a - 1) cout << -1 << endl;else cout << res << endl;
}