数学公式测试
MVP变换
MVP变换用来描述视图变换的任务，即将虚拟世界中的三维物体映射（变换）到二维坐标中。
MVP变换分为三步：
- 模型变换(model tranformation)：将模型空间转换到世界空间（找个好的地方，把所有人集合在一起，摆个pose）
- 摄像机变换(view tranformation)：将世界空间转换到观察空间（找到一个放相机的位置，往某一个角度去看）
- 投影变换(projection tranformation)：将观察空间转换到裁剪空间（茄子！）
在这之后，还有一个#视口变换
视图变换（View）
视图变换的目的是变换Camera位置到原点，上方为Y，观察方向为-Z，即
M v i e w = R v i e w T v i e w = [ x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 x t y t z t 0 x − g y g z − g 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − x e 0 1 0 − y c 0 0 1 − z c 0 0 0 1 ] \begin{align} M_{view}&=R_{view}T_{view}\\ &=\begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}}& y_{\hat{g}\times\hat{t}}& z_{\hat{g}\times\hat{t}}& 0\\ x_{t}& y_{t}& z_{t}& 0\\ x_{-g}& y_{g}& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& 0& 0& -x_{e}\\ 0& 1& 0& -y_{c}\\ 0& 0& 1& -z_{c}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix} \end{align} Mview=RviewTview= xg^×t^xtx−g0yg^×t^ytyg0zg^×t^ztz−g00001 100001000010−xe−yc−zc1
定义Camera：
- Camera位置 e ⃗ \vec{e} e
- 观察方向 g ^ \hat{g} g^
- 视点上方向 t ^ \hat{t} t^
规定：
- Camera的y轴正方向向上，z轴方向是 − x ⃗ × y ⃗ -\vec{x}\times \vec{y} −x×y（右手系）
- 对物体进行运动，摄像机会跟随着一起运动保持相对位置不变。
变换Camera位置到原点，上方为Y，观察方向为-Z：
- 把 e ⃗ \vec{e} e移动到标准位置： T v i e w = [ 1 0 0 − x e 0 1 0 − y c 0 0 1 − z c 0 0 0 1 ] T_{view}=\begin{bmatrix}1& 0& 0& -x_{e}\\ 0& 1& 0& -y_{c}\\ 0& 0& 1& -z_{c}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix} Tview= 100001000010−xe−yc−zc1 （因为朝原点移动，所以为负）
- 旋转 g ^ \hat{g} g^到-Z ， t ⃗ \vec{t} t到Y， g ^ × t ⃗ \hat{g}\times\vec{t} g^×t到X： R v i e w = [ x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 x t y t z t 0 x − g y g z − g 0 0 0 0 1 ] R_{view}=\begin{bmatrix}x_{\hat{g}\times\hat{t}}& y_{\hat{g}\times\hat{t}}& z_{\hat{g}\times\hat{t}}& 0\\ x_{t}& y_{t}& z_{t}& 0\\x_{-g}& y_{g}& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix} Rview= xg^×t^xtx−g0yg^×t^ytyg0zg^×t^ztz−g00001
推导：这个过程是旋转X到 g ^ × t ^ \hat{g}\times\hat{t} g^×t^，Y到 t ^ \hat{t} t^，Z到 − g ^ -\hat{g} −g^的逆过程。所以 R v i e w R_{view} Rview是这个逆过程的逆矩阵（正交矩阵的逆是转置矩阵）：
模型变换和视图变换经常被一起叫作模型视图变换（ModelView Translation）
投影变换（Projection）
投影变换分为两种：
- 正交投影变换：透视线平行
- 透视投影变换：透视线相交，近大远小
正交投影
M o r t h o = [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − r + L 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] = [ 2 r − l 0 0 − r + l r − l 0 2 t − b 0 − t + b t − b 0 0 2 n − f − n + f n − f 0 0 0 1 ] \begin{align} M_{ortho}&=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& 0& 0& -\frac{r+L}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{t+b}{2}\\ 0& 0& 1& -\frac{n+f}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix} \end{align} Mortho= r−l20000t−b20000n−f200001 100001000010−2r+L−2t+b−2n+f1 = r−l20000t−b20000n−f20−r−lr+l−t−bt+b−n−fn+f1
正交投影的核心：用一个立方体框住物体的 [ l , r ] × [ b , t ] × [ f , n ] [l,r]\times[b,t]\times[f,n] [l,r]×[b,t]×[f,n]，把这个立方体变换到标准正方体 [ − 1 , 1 ] 3 [-1,1]^{3} [−1,1]3中。
变换顺序：先移动（中点移动到原点），再缩放（基向量缩放比例为 2 长 / 宽 / 高 \frac{2}{长/宽/高} 长/宽/高2 ）。
注意事项：
- 右手系：n>f
- OpenGl是左手系
透视投影
M p e r = M o r t h o M p e r s p → − o r t h o = [ 2 r − l 0 0 − r + l r − l 0 2 t − b 0 − t + b t − b 0 0 2 n − f − n + f n − f 0 0 0 1 ] [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] = [ 2 n r − l 0 l + r l − r 0 0 2 n t − b b + t b − t 0 0 0 f + n n − f 2 f n f − n 0 0 1 0 ] \begin{align} M_{per}&=M_{ortho}M_{persp\rightarrow -ortho}\\\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2n}{r-l}& 0&\frac{l+r}{l-r}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{b+t}{b-t}& 0\\ 0& 0& \frac{f+n}{n-f}& \frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix} \end{align} Mper=MorthoMpersp→−ortho= r−l20000t−b20000n−f20−r−lr+l−t−bt+b−n−fn+f1 n0000n0000n+f100−nf0 = r−l2n0000t−b2n00l−rl+rb−tb+tn−ff+n100f−n2fn0
透视投影的核心：用“远平面”和“近平面”框住物体，先把“远平面”向“近平面“挤压，然后做一次正交投影。
即透视投影分为两步：
- 将透视投影转化为正交投影
- 将正交投影转换到正则立方体
研究挤压：
规定：
- 挤压过程中，近平面和远平面的z值不发生变换（中间要发生变化）
- 挤压过程中，远平面中心原点 ( x , y ) T (x,y)^{T} (x,y)T不发生变化
挤压过程中的x,y变化的比例关系：
x同理。
y ′ = n z y , x ′ = n z x y' = \frac{n}{z}y,~~x'=\frac{n}{z}x y′=zny, x′=znx
用齐次坐标描述任一点的坐标变换：
[ x y z 1 ] → [ n x / z n y / z u n k n o w n 1 ] = [ n x n y z ⋅ u n k o w n z ] \begin{align} \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} nx/z\\ ny/z\\ unknown\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}nx\\ ny\\ z\cdot unkown\\ z\end{bmatrix} \end{align} xyz1 → nx/zny/zunknown1 = nxnyz⋅unkownz
把这个变换用齐次坐标矩阵表示：
M ( 4 × 4 ) [ x y z 1 ] = = [ n x n y z ⋅ u n k o w n z ] M(4\times 4)\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}==\begin{bmatrix}nx\\ ny\\ z\cdot unkown\\ z\end{bmatrix} M(4×4) xyz1 == nxnyz⋅unkownz
根据矩阵乘法，可以写出M的大致形式：
M = [ n 0 0 0 0 n 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 0 ] M=\begin{bmatrix}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix} M= n0?00n?000?100?0
代入上面提到的两种点：
- 近平面或远平面上的任一点（令 u n k n o w n = n , z = n unknown=n,z=n unknown=n,z=n）： M [ x y n 1 ] = [ n x n y n 2 n ] M\begin{bmatrix}x\\ y\\ n\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}nx\\ ny\\ n^{2}\\ n\end{bmatrix} M xyn1 = nxnyn2n 根据矩阵乘法行操作： M 第三行 [ x y n 1 ] = n 2 M第三行\begin{bmatrix}x\\ y\\ n\\ 1\end{bmatrix}=n^{2} M第三行 xyn1 =n2 因为不涉及旋转，所以第三行与x,y无关。 [ 0 0 A B ] [ x y n 1 ] = n 2 \begin{bmatrix}0& 0& A& B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ n \\ 1\end{bmatrix}=n^{2} [00AB] xyn1 =n2 即： A n + B = n 2 An+B=n^{2} An+B=n2
- 远平面的原点（令 x = 0 , y = 0 , z = f x=0,y=0,z=f x=0,y=0,z=f）： [ 0 0 f 1 ] → [ 0 0 f 2 f ] \begin{bmatrix}0\\ 0\\ f\\ 1\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}0\\ 0\\ f^{2}\\ f\end{bmatrix} 00f1 → 00f2f 同理可得： A f + B = f 2 Af+B=f^{2} Af+B=f2
综上所述，
A = n + f B = − n f A=n+f B=-nf A=n+fB=−nf
求得变换矩阵为：
M p e r s p → − o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] M_{persp\rightarrow -ortho}=\begin{bmatrix}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix} Mpersp→−ortho= n0000n0000n+f100−nf0
得到透视投影矩阵为：
M p e r = M o r t h o M p e r s p → − o r t h o = [ 2 r − l 0 0 − r + l r − l 0 2 t − b 0 − t + b t − b 0 0 2 n − f − n + f n − f 0 0 0 1 ] [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] = [ 2 n r − l 0 l + r l − r 0 0 2 n t − b b + t b − t 0 0 0 f + n n − f 2 f n f − n 0 0 1 0 ] \begin{align} M_{per}&=M_{ortho}M_{persp\rightarrow -ortho}\\\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2n}{r-l}& 0&\frac{l+r}{l-r}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{b+t}{b-t}& 0\\ 0& 0& \frac{f+n}{n-f}& \frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix} \end{align} Mper=MorthoMpersp→−ortho= r−l20000t−b20000n−f20−r−lr+l−t−bt+b−n−fn+f1 n0000n0000n+f100−nf0 = r−l2n0000t−b2n00l−rl+rb−tb+tn−ff+n100f−n2fn0
视口变换
视口变换
将处于标准平面映射到屏幕分辨率范围之内，即[-1,1]^2->[0,width]*[0,height], 其中width和height指屏幕分辨率大小
视锥
视锥表示看起来像顶部切割后平行于底部的金字塔的实体形状。这是透视摄像机可以看到和渲染的区域的形状。
定义视锥：
- 长宽比 Aspect
- 垂直的角度 FovY
利用视锥得到物体长宽高：
屏幕（Screen）
- 二维数组，数组元素为像素
- 典型的光栅成像设备
光栅（Raster）
- 德语中的屏幕
- 画在屏幕上
像素（Pixel <- PIcture element）
- 像素是一个颜色均匀的小正方形
- 颜色混合而成（红、绿、蓝）
屏幕空间
认为屏幕左下角是原点，向右是x，向上是y
规定：
- 像素坐标（Pixel’s indices）是(x, y)形式，x, y都是整数。
- 所有的像素都在(0, 0)到(width-1, height-1)之间
- 像素的中心：(x+0.5, y+0.5)
- 整个屏幕覆盖（0，0）to（width，height）
视口变换
要做的事情：
先不考虑z轴，把MVP后处于标准立方体 [ − 1 , 1 ] 3 [-1,1]^{3} [−1,1]3映射到屏幕上。即
[ − 1 , 1 ] 2 → [ 0 , w i d t h ] × [ 0 , h e i g h t ] [-1, 1]^{2}\rightarrow [0,width]\times [0,height] [−1,1]2→[0,width]×[0,height]
总结：把虚拟世界的任意可视物体转换到屏幕：
M = M v i e w M p e r M c a m M m o d e l M=M_{view}M_{per}M_{cam}M_{model} M=MviewMperMcamMmodel