专题：平面、空间直线参数方程下的切线斜率问题
本文研究平面、空间直线在参数方程形式下，切线斜率（即导数）如何表示的问题。
如上图所示。 设 y = f ( x ) ， x = φ ( t ) ， y = ψ ( t ) 当 t = t 0 时， x = x 0 ， y = y 0 ，即点 A 坐标为 ( x 0 , y 0 ) 点 A 处的导数 f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ t → 0 ψ ( t 0 + Δ t ) − ψ ( t 0 ) φ ( t 0 + Δ t ) − φ ( t 0 ) = lim Δ t → 0 ψ ( t 0 + Δ t ) − ψ ( t 0 ) Δ t / φ ( t 0 + Δ t ) − φ ( t 0 ) Δ t = lim Δ t → 0 ψ ( t 0 + Δ t ) − ψ ( t 0 ) Δ t / lim Δ t → 0 φ ( t 0 + Δ t ) − φ ( t 0 ) Δ t = ψ ′ ( t 0 ) φ ′ ( t 0 ) 因此点 A 处的切线向量可表示为 ( ψ ′ ( t 0 ) , φ ′ ( t 0 ) ) 而切线方程为 y − y 0 = ψ ′ ( t 0 ) φ ′ ( t 0 ) ( x − x 0 ) ，即 y − y 0 ψ ′ ( t 0 ) = x − x 0 φ ′ ( t 0 ) 同理可得空间直线的点向式方程为： y − y 0 ψ ′ ( t 0 ) = x − x 0 φ ′ ( t 0 ) = z − z 0 ω ′ ( t 0 ) 如上图所示。\\ 设y=f(x)，x=\varphi(t)，y=\psi(t) \\ 当t=t_0时，x=x_0，y=y_0，即点A坐标为(x_0,y_0) \\ 点A处的导数f^\prime(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0)}{\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0)} \\ \,\\ =\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0)}{\Delta t}/\frac{\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0)}{\Delta t} \\ \,\\ =\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0)}{\Delta t}/\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0)}{\Delta t} \\ \,\\ =\frac{\psi^\prime(t_0)}{\varphi^\prime(t_0)} \\ \,\\ 因此点A处的切线向量可表示为(\psi^\prime(t_0),\varphi^\prime(t_0)) \\ 而切线方程为y-y_0=\frac{\psi^\prime(t_0)}{\varphi^\prime(t_0)}(x-x_0)，即\frac{y-y_0}{\psi^\prime(t_0)}=\frac{x-x_0}{\varphi^\prime(t_0)} \\ \,\\ 同理可得空间直线的点向式方程为：\\ \frac{y-y_0}{\psi^\prime(t_0)}=\frac{x-x_0}{\varphi^\prime(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega^\prime(t_0)} 如上图所示。设y=f(x)，x=φ(t)，y=ψ(t)当t=t0时，x=x0，y=y0，即点A坐标为(x0,y0)点A处的导数f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=Δt→0limφ(t0+Δt)−φ(t0)ψ(t0+Δt)−ψ(t0)=Δt→0limΔtψ(t0+Δt)−ψ(t0)/Δtφ(t0+Δt)−φ(t0)=Δt→0limΔtψ(t0+Δt)−ψ(t0)/Δt→0limΔtφ(t0+Δt)−φ(t0)=φ′(t0)ψ′(t0)因此点A处的切线向量可表示为(ψ′(t0),φ′(t0))而切线方程为y−y0=φ′(t0)ψ′(t0)(x−x0)，即ψ′(t0)y−y0=φ′(t0)x−x0同理可得空间直线的点向式方程为：ψ′(t0)y−y0=φ′(t0)x−x0=ω′(t0)z−z0