高等数学上册 第五章 定积分 知识点总结
定积分
定积分的性质： （ 1 ） ∫ a b [ α f ( x ) + β g ( x ) ] d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x （ 2 ）设 a < c < b ，则 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x （ 3 ）在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ 1 ，则 ∫ a b f ( x ) d x = b − a （ 4 ）在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≥ 0 ，则 ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 （ 5 ）设 m 和 M 分别在 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最小值和最大值， 则 m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) （ 6 ）定积分中值定理： ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) （ a ≤ ξ ≤ b ） 积分上限的函数及其导数： 积分上限的函数 Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t 其导数为 f ( x ) 牛顿 − 莱布尼茨公式（微积分基本公式）： ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) 如下等式所示，牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的联系 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ⏟ 定积分中值定理 = F ′ ( ξ ) ( b − a ) = F ( b ) − F ( a ) ⏟ 微分中值定理 ⏟ 牛顿 − 莱布尼茨公式 定积分的性质：\\ （1）\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^bg(x)dx \\ （2）设a<c<b，则\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx \\ （3）在[a,b]上f(x)\equiv1，则\int_a^bf(x)dx=b-a \\ （4）在[a,b]上f(x)\ge0，则\int_a^bf(x)dx\ge0 \\ （5）设m和M分别在f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，\\ 则m(b-a)\le\int_a^bf(x)dx\le M(b-a) \\ （6）定积分中值定理：\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)（a\le\xi\le b）\\ \,\\\,\\ 积分上限的函数及其导数： \\ 积分上限的函数\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt其导数为f(x) \\ \,\\\,\\ 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本公式）：\\ \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) \\ 如下等式所示，牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的联系 \\ \begin{matrix}\underbrace{\begin{matrix}\underbrace{\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)} \\ 定积分中值定理\end{matrix} =\begin{matrix}\underbrace{F'(\xi)(b-a)=F(b)-F(a)} \\ 微分中值定理\end{matrix} } \\ 牛顿-莱布尼茨公式\end{matrix} 定积分的性质：（1）∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx（2）设a<c<b，则∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx（3）在[a,b]上f(x)≡1，则∫abf(x)dx=b−a（4）在[a,b]上f(x)≥0，则∫abf(x)dx≥0（5）设m和M分别在f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，则m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)（6）定积分中值定理：∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)（a≤ξ≤b）积分上限的函数及其导数：积分上限的函数Φ(x)=∫axf(t)dt其导数为f(x)牛顿−莱布尼茨公式（微积分基本公式）：∫abf(x)dx=F(b)−F(a)如下等式所示，牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的联系 ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)定积分中值定理= F′(ξ)(b−a)=F(b)−F(a)微分中值定理牛顿−莱布尼茨公式
例题
（ 1 ）计算导数： d d x ∫ sin x cos x cos ( π t 2 ) d t 原式 = d d x [ ∫ 0 cos x cos ( π t 2 ) d t − ∫ 0 sin x cos ( π t 2 ) d t ] = − sin x cos ( π cos 2 x ) − cos x cos ( π sin 2 x ) （ 2 ）求由参数表达式 x = ∫ 0 t sin u d u ， y = ∫ 0 t cos u d u 所确定的函数对 x 的导数 d y d x d y d x = d y d t / d x d t = cos t sin t = cot t （ 3 ） d d x ∫ 0 x 2 1 + t 2 d t = 2 x 1 + x 4 （ 4 ）证明 f ( x ) = ∫ 1 x 1 + t 3 d t 在 [ − 1 , + ∞ ) 上单调增，并求 ( f − 1 ) ′ ( 0 ) 首先，显然 f ( x ) 在 [ − 1 , + ∞ ) ，且 f ′ ( x ) = 1 + x 3 ≥ 0 ，因此单调增 那如何求其反函数在 0 这点上的导数呢，首先求原函数即 1 + x 3 的不定积分不好求 但我们可以从目标出发，如下： ( f − 1 ) ′ ( 0 ) = 1 f ′ ( x 0 ) ，这里的 x 0 满足 f ( x 0 ) = 0 如果要让积分为 0 ，令积分上限 = 积分下限即可，求得 x 0 = 1 f ′ ( 1 ) 好求啊，即 1 + 1 3 = 2 ，因此最终结果为 1 2 （1）计算导数：\frac{d}{dx}\int_{\sin x}^{\cos x}\cos(\pi t^2)dt \\ 原式=\frac{d}{dx}[\int_{0}^{\cos x}\cos(\pi t^2)dt-\int_{0}^{\sin x}\cos(\pi t^2)dt] \\ =-\sin x\cos(\pi \cos ^2x)-\cos x\cos(\pi \sin ^2x) \\ \,\\ （2）求由参数表达式x=\int_0^t\sin udu，y=\int_0^t\cos udu所确定的函数对x的导数\frac{dy}{dx} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}=\frac{\cos t}{\sin t}=\cot t \\ \,\\ （3）\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}\sqrt{1+t^2}dt=2x\sqrt{1+x^4} \\ \,\\ （4）证明f(x)=\int_1^x\sqrt{1+t^3}dt在[-1,+\infty)上单调增，并求(f^{-1})'(0) \\ 首先，显然f(x)在[-1,+\infty)，且f'(x)=\sqrt{1+x^3}\ge0，因此单调增 \\ 那如何求其反函数在0这点上的导数呢，首先求原函数即\sqrt{1+x^3}的不定积分不好求 \\ 但我们可以从目标出发，如下： \\ (f^{-1})'(0)=\frac{1}{f'(x_0)}，这里的x_0满足f(x_0)=0 \\ 如果要让积分为0，令积分上限=积分下限即可，求得x_0=1 \\ f'(1)好求啊，即\sqrt{1+1^3}=\sqrt{2}，因此最终结果为\frac{1}{\sqrt2} （1）计算导数：dxd∫sinxcosxcos(πt2)dt原式=dxd[∫0cosxcos(πt2)dt−∫0sinxcos(πt2)dt]=−sinxcos(πcos2x)−cosxcos(πsin2x)（2）求由参数表达式x=∫0tsinudu，y=∫0tcosudu所确定的函数对x的导数dxdydxdy=dtdy/dtdx=sintcost=cott（3）dxd∫0x21+t2dt=2x1+x4（4）证明f(x)=∫1x1+t3dt在[−1,+∞)上单调增，并求(f−1)′(0)首先，显然f(x)在[−1,+∞)，且f′(x)=1+x3≥0，因此单调增那如何求其反函数在0这点上的导数呢，首先求原函数即1+x3的不定积分不好求但我们可以从目标出发，如下：(f−1)′(0)=f′(x0)1，这里的x0满足f(x0)=0如果要让积分为0，令积分上限=积分下限即可，求得x0=1f′(1)好求啊，即1+13=2，因此最终结果为21