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【基础知识整理】图的基本概念邻接矩阵邻接表

news 2025/8/11 23:33:16

一、图概述

定义：

图(graph)是由一些点(vertex)和这些点之间的连线(edge)所组成的；
其中，点通常被成为"顶点(vertex)“，而点与点之间的连线则被成为"边或弧”(edege)。
通常记为，G=(V,E)。

图是一种重要的数据结构，基本概念包括：顶点，边，有向，无向，权，路径回路，连通域，邻接点，度，入边，出边，入度，出度等等，很好理解。

参考这篇博客：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3691463.html

二、图基础

2 图的分类

根据边是否有方向，将图可以划分为：无向图和有向图。

2.1.1 无向图

即两个顶点之间没有明确的指向关系，只有一条边相连，例如，A顶点和B顶点之间可以表示为 <A, B> 也可以表示为<B, A>，如下所示

在这里插入图片描述

上面的图G0是无向图，无向图的所有的边都是不区分方向的。

我们用 **图 = （顶点集合，{边集合}）**来表示图。

G0=(V1,{E1}) 其中，

(01) V1={A,B,C,D,E,F}。 V1表示由"A,B,C,D,E,F"几个顶点组成的集合。

(02) E1={(A,B),(A,C),(B,C),(B,E),(B,F),(C,F), (C,D),(E,F),(C,E)}。 E1是由边(A,B),边(A,C)…等等组成的集合。其中，(A,C)表示由顶点A和顶点C连接成的边。

2.2.2 有向图

顶点之间是有方向性的，例如A和B顶点之间，A指向了B，B也指向了A，两者是不同的，如果给边赋予权重，那么这种异同便更加显著了
在这里插入图片描述

上面的图G2是有向图。

和无向图不同，有向图的所有的边都是有方向的！

3、邻接点和度

3.1 邻接点

一条边上的两个顶点叫做邻接点。
例如，上面无向图G0中的顶点A和顶点C就是邻接点。

在有向图中，除了邻接点之外；还有"入边"和"出边"的概念。
顶点的入边，是指以该顶点为终点的边。而顶点的出边，则是指以该顶点为起点的边。

例如，上面有向图G2中的B和E是邻接点；<B,E>是B的出边，还是E的入边。

3.2 度

在无向图中，某个顶点的度是邻接到该顶点的边(或弧)的数目。
例如，上面无向图G0中顶点A的度是2。

在有向图中，度还有"入度"和"出度"之分。
某个顶点的入度，是指以该顶点为终点的边的数目。
而顶点的出度，则是指以该顶点为起点的边的数目。顶点的度=入度+出度。

例如，上面有向图G2中，顶点B的入度是2，出度是3；顶点B的度=2+3=5。

4、路径和回路

路径：如果顶点(Vm)到顶点(Vn)之间存在一个顶点序列。则表示Vm到Vn是一条路径。
路径长度：路径中"边的数量"。
简单路径：若一条路径上顶点不重复出现，则是简单路径。

回路：若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则是回路。
简单回路：第一个顶点和最后一个顶点相同，其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。

三、图的存储结构

上面了解了"图的基本概念"，下面开始介绍图的存储结构。图的存储结构，常用的是"邻接矩阵"和"邻接表"。

3.1 邻接矩阵

邻接矩阵是指用矩阵来表示图。它是采用矩阵来描述图中顶点之间的关系(及弧或边的权)。假设图中顶点数为n，则邻接矩阵定义为：
在这里插入图片描述

下面通过示意图来进行解释。
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图中的G1是无向图和它对应的邻接矩阵。
在这里插入图片描述

图中的G2是有向图和它对应的邻接矩阵。
通常采用两个数组来实现邻接矩阵：一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息。
邻接矩阵的缺点就是比较耗费空间。

3.2 邻接表

邻接表是图的一种链式存储表示方法。它是改进后的"邻接矩阵"，它的缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相对邻接矩阵来说更省空间。
在这里插入图片描述
图中的G1是无向图和它对应的邻接矩阵。

在这里插入图片描述
图中的G2是无向图和它对应的邻接矩阵。

3.3 十字链表

对于邻接表来说，计算顶点的入度是不方便的，那么有没有一种存储方式能够轻松的计算顶点的入度和出度呢，在十字链表中重新定义了节点的结构：

3.4 使用

实际使用，我们在拓扑排序中，使用邻接矩阵来实现，这是i个二维数组

首先，定义一些属性，用来存放节点数、顶点名称、排序后的顺序，图关系矩阵

/*** 节点个数*/public int size;/*** 顶点名称*/char [] nodeName;/*** 排序后的顺序*/List result;/*** 图关系矩阵*/int [][] matrix;

然后排序

// 排序public void tuopuSort() {System.out.println("\n");// 一个一维数组，用来保存顶点的入度int indegree[] = new int[size];boolean indegreeV[] = new boolean[size];// 给入度输入值for(int i = 0; i < size; i ++) {indegreeV[i] = false;for (int j = 0; j < size; j ++) {if (matrix[i][j] == 1) {indegree[j] = indegree[j] + 1;}}}System.out.println("\n");//开始进行遍历LinkedList<String> nodes = new LinkedList<String>();// 将入度为 0 的节点入队列for (int x = 0; x < size; x ++) {if (indegree[x] == 0) {System.out.println(nodeName[x]);nodes.add(String.valueOf(nodeName[x]));}}int j = 0;while (!nodes.isEmpty()) {for (int x = 0; x < size; x ++) {System.out.println("\n 数组 x = " + x + ", ");if (indegree[x] == 0 && !indegreeV[x]) {indegreeV[x] = true;String s = nodes.poll();System.out.println("add = " +s);result.add(s);// 找到跟它相关的节点,，入度 -1for (int y = 0; y < size; y ++) {if (matrix[x][y] == 1) {System.out.println("相关的节点 -1 = " + y);indegree[y] = indegree[y] - 1;if (indegree[y] == 0) {System.out.println("相关的节点 -1 后， 入度为0， " + nodeName[y]);nodes.add(String.valueOf(nodeName[y]));}}}} else {}}j ++;}System.out.println(result);}