图论Day4学习心得

今天先来看并查集的理论。

首先要知道并查集可以解决什么问题呢？

并查集常用来解决连通性问题。

就是当需要判断两个元素是否在同一个集合里的时候，就要想到用并查集。

并查集主要有两个功能：

• 将两个元素添加到一个集合中。
• 判断两个元素在不在同一个集合

从代码层面，如何将两个元素添加到同一个集合中呢。

将三个元素A，B，C （分别是数字）放在同一个集合，其实就是将三个元素连通在一起，如何连通呢。

只需要用一个一维数组来表示，即：father[A] = B，father[B] = C 这样就表述 A 与 B 与 C连通了（有向连通图）。

代码如下：

// 将v，u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {u = find(u); // 寻找u的根v = find(v); // 寻找v的根if (u == v) return; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回father[v] = u;
}

这样可以知道 A 连通 B，因为 A 是索引下标，根据 father[A]的数值就知道 A 连通 B。那怎么知道 B 连通 A呢？

目的是判断这三个元素是否在同一个集合里，知道 A 连通 B 就已经足够了。

这里要讲到寻根思路，只要 A ，B，C 在同一个根下就是同一个集合。

给出A元素，就可以通过 father[A] = B，father[B] = C，找到根为 C。

给出B元素，就可以通过 father[B] = C，找到根也为为 C，说明 A 和 B 是在同一个集合里。 第一段代码里find函数是如何实现的呢？其实就是通过数组下标找到数组元素，一层一层寻根过程，代码如下：

// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {if (u == father[u]) return u; // 如果根就是自己，直接返回else return find(father[u]); // 如果根不是自己，就根据数组下标一层一层向下找
}

如何表示 C 也在同一个元素里呢？ 需要 father[C] = C，即C的根也为C，这样就方便表示 A，B，C 都在同一个集合里了。

所以father数组初始化的时候要 father[i] = i，默认自己指向自己。

代码如下：

// 并查集初始化
void init() {for (int i = 0; i < n; ++i) {father[i] = i;}
}

最后如何判断两个元素是否在同一个集合里，如果通过 find函数 找到 两个元素属于同一个根的话，那么这两个元素就是同一个集合，代码如下：

// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {u = find(u);v = find(v);return u == v;
}

路径压缩

在实现 find 函数的过程中通过递归的方式，不断获取father数组下标对应的数值，最终找到这个集合的根。

搜索过程像是一个多叉树中从叶子到根节点的过程，如图：

如果这棵多叉树高度很深的话，每次find函数 去寻找根的过程就要递归很多次。

我目的只需要知道这些节点在同一个根下就可以，所以对这棵多叉树的构造只需要这样就可以了，如图：

除了根节点其他所有节点都挂载根节点下，这样在寻根的时候就很快，只需要一步，

如果想达到这样的效果，就需要 路径压缩，将非根节点的所有节点直接指向根节点。 那么在代码层面如何实现呢？

只需要在递归的过程中，让 father[u] 接住 递归函数 find(father[u]) 的返回结果。

因为 find 函数向上寻找根节点，father[u] 表述 u 的父节点，那么让 father[u] 直接获取 find函数 返回的根节点，这样就让节点 u 的父节点 变成根节点。

代码如下，注意看注释，路径压缩就一行代码：

// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {if (u == father[u]) return u;else return father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}

以上代码在C++中，可以用三元表达式来精简一下，代码如下：

int find(int u) {return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]);
}

代码模板

那么此时并查集的模板就出来了， 整体模板C++代码如下：

int n = 1005; // n根据题目中节点数量而定，一般比节点数量大一点就好
vector<int> father = vector<int> (n, 0); // C++里的一种数组结构// 并查集初始化
void init() {for (int i = 0; i < n; ++i) {father[i] = i;}
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {u = find(u);v = find(v);return u == v;
}// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {u = find(u); // 寻找u的根v = find(v); // 寻找v的根if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回father[v] = u;
}

通过模板可以知道，并查集主要有三个功能。

1. 寻找根节点，函数：find(int u)，也就是判断这个节点的祖先节点是哪个
2. 将两个节点接入到同一个集合，函数：join(int u, int v)，将两个节点连在同一个根节点上
3. 判断两个节点是否在同一个集合，函数：isSame(int u, int v)，就是判断两个节点是不是同一个根节点

下面来看题目：107. 寻找存在的路径

本题是并查集基础题目。

int n = 1005; // n根据题目中节点数量而定，一般比节点数量大一点就好
vector<int> father = vector<int> (n, 0); // C++里的一种数组结构// 并查集初始化
void init() {for (int i = 0; i < n; ++i) {father[i] = i;}
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {u = find(u);v = find(v);return u == v;
}// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {u = find(u); // 寻找u的根v = find(v); // 寻找v的根if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回father[v] = u;
}

以上模板中，只要修改 n 大小就可以。

并查集主要有三个功能：

1. 寻找根节点，函数：find(int u)，也就是判断这个节点的祖先节点是哪个
2. 将两个节点接入到同一个集合，函数：join(int u, int v)，将两个节点连在同一个根节点上
3. 判断两个节点是否在同一个集合，函数：isSame(int u, int v)，就是判断两个节点是不是同一个根节点

这道题目是并查集基础题目，题目中各个点是双向图链接，那么判断 一个顶点到另一个顶点有没有有效路径其实就是看这两个顶点是否在同一个集合里。

如何算是同一个集合呢，有边连在一起，就算是一个集合。

此时就可以直接套用并查集模板。

使用 join(int u, int v)将每条边加入到并查集。

最后 isSame(int u, int v) 判断是否是同一个根 就可以了。

C++代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int n; // 节点数量
vector<int> father = vector<int> (101, 0); // 按照节点大小定义数组大小// 并查集初始化
void init() {for (int i = 1; i <= n; i++)  father[i] = i;
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]);
}// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {u = find(u);v = find(v);return u == v;
}// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {u = find(u); // 寻找u的根v = find(v); // 寻找v的根if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回father[v] = u;
}int main() {int m, s, t, source, destination;cin >> n >> m;init();while (m--) {cin >> s >> t;join(s, t);}cin >> source >> destination;if (isSame(source, destination)) cout << 1 << endl;else cout << 0 << endl;
}

然后继续看下一题：108. 冗余的边

题目说是无向图，返回一条可以删去的边，使得结果图是一个有着N个节点的树（即：只有一个根节点）。

如果有多个答案，则返回二维数组中最后出现的边。

那么就可以从前向后遍历每一条边（因为优先让前面的边连上），边的两个节点如果不在同一个集合，就加入集合（即：同一个根节点）。

如果边的两个节点已经出现在同一个集合里，说明着边的两个节点已经连在一起了，再加入这条边一定就出现环了。

已经判断 节点A 和 节点B 在在同一个集合（同一个根），如果将 节点A 和 节点B 连在一起就一定会出现环。

这个思路清晰之后，代码就很好写了。

并查集C++代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n; // 节点数量
vector<int> father(1001, 0); // 按照节点大小范围定义数组// 并查集初始化
void init() {for (int i = 0; i <= n; ++i) {father[i] = i;}
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]);
}
// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {u = find(u);v = find(v);return u == v;
}
// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {u = find(u); // 寻找u的根v = find(v); // 寻找v的根if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回father[v] = u;
}int main() {int s, t;cin >> n;init();for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> s >> t;if (isSame(s, t)) {cout << s << " " << t << endl;return 0;} else {join(s, t);}}
}

然后继续看下一道题：109. 冗余的边II

本题的本质是 ：有一个有向图，是由一颗有向树 + 一条有向边组成的 （所以此时这个图就不能称之为有向树），现在让找到那条边，把这条边删了，让这个图恢复为有向树。

还有“若有多条边可以删除，请输出标准输入中最后出现的一条边”，这说明在两条边都可以删除的情况下，要删顺序靠后的边！

来想一下 有向树的性质，如果是有向树的话，只有根节点入度为0，其他节点入度都为1（因为该树除了根节点之外的每一个节点都有且只有一个父节点，而根节点没有父节点）。

所以情况一：如果找到入度为2的点，那么删一条指向该节点的边就行了。

如图：

找到了节点3 的入度为2，删 1 -> 3 或者 2 -> 3 。选择删顺序靠后便可。

但 入度为2 还有一种情况，情况二，只能删特定的一条边，如图：

节点3 的入度为 2，但在删除边的时候，只能删 这条边（节点1 -> 节点3），如果删这条边（节点4 -> 节点3），那么删后本图也不是有向树了（因为找不到根节点）。

综上，如果发现入度为2的节点，需要判断 删除哪一条边，删除后本图能成为有向树。如果是删哪个都可以，优先删顺序靠后的边。

情况三： 如果没有入度为2的点，说明 图中有环了（注意是有向环）。

如图：

对于情况三，删掉构成环的边就可以了。

#写代码

把每条边记录下来，并统计节点入度：

    int s, t;vector<vector<int>> edges;cin >> n;vector<int> inDegree(n + 1, 0); // 记录节点入度for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> s >> t;inDegree[t]++;edges.push_back({s, t});}

前两种入度为2的情况，一定是删除指向入度为2的节点的两条边其中的一条，如果删了一条，判断这个图是一个树，那么这条边就是答案。

同时注意要从后向前遍历，因为如果两条边删哪一条都可以成为树，就删最后那一条。

代码如下：

vector<int> vec; // 记录入度为2的边（如果有的话就两条边）
// 找入度为2的节点所对应的边，注意要倒序，因为优先删除最后出现的一条边
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {if (inDegree[edges[i][1]] == 2) {vec.push_back(i);}
}
if (vec.size() > 0) {// 放在vec里的边已经按照倒叙放的，所以这里就优先删vec[0]这条边if (isTreeAfterRemoveEdge(edges, vec[0])) {cout << edges[vec[0]][0] << " " << edges[vec[0]][1];} else {cout << edges[vec[1]][0] << " " << edges[vec[1]][1];}return 0;
}

再来看情况三，明确没有入度为2的情况，那么一定有向环，找到构成环的边就是要删除的边。

可以定义一个函数，代码如下：

// 在有向图里找到删除的那条边，使其变成树 
void getRemoveEdge(const vector<vector<int>>& edges)

要解决本题要实现两个最为关键的函数：

• isTreeAfterRemoveEdge() 判断删一个边之后是不是有向树
• getRemoveEdge() 确定图中一定有了有向环，那么要找到需要删除的那条边

此时就用到并查集了。

isTreeAfterRemoveEdge() 判断删一个边之后是不是有向树： 将所有边的两端节点分别加入并查集，遇到要 要删除的边则跳过，如果遇到即将加入并查集的边的两端节点 本来就在并查集了，说明构成了环。

如果顺利将所有边的两端节点（除了要删除的边）加入了并查集，则说明 删除该条边 还是一个有向树

getRemoveEdge()确定图中一定有了有向环，那么要找到需要删除的那条边： 将所有边的两端节点分别加入并查集，如果遇到即将加入并查集的边的两端节点 本来就在并查集了，说明构成了环。

本题C++代码如下：（详细注释了）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n;
vector<int> father (1001, 0);
// 并查集初始化
void init() {for (int i = 1; i <= n; ++i) {father[i] = i;}
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]);
}
// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {u = find(u);v = find(v);if (u == v) return ;father[v] = u;
}
// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool same(int u, int v) {u = find(u);v = find(v);return u == v;
}// 在有向图里找到删除的那条边，使其变成树
void getRemoveEdge(const vector<vector<int>>& edges) {init(); // 初始化并查集for (int i = 0; i < n; i++) { // 遍历所有的边if (same(edges[i][0], edges[i][1])) { // 构成有向环了，就是要删除的边cout << edges[i][0] << " " << edges[i][1];return;} else {join(edges[i][0], edges[i][1]);}}
}// 删一条边之后判断是不是树
bool isTreeAfterRemoveEdge(const vector<vector<int>>& edges, int deleteEdge) {init(); // 初始化并查集for (int i = 0; i < n; i++) {if (i == deleteEdge) continue;if (same(edges[i][0], edges[i][1])) { // 构成有向环了，一定不是树return false;}join(edges[i][0], edges[i][1]);}return true;
}int main() {int s, t;vector<vector<int>> edges;cin >> n;vector<int> inDegree(n + 1, 0); // 记录节点入度for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> s >> t;inDegree[t]++;edges.push_back({s, t});}vector<int> vec; // 记录入度为2的边（如果有的话就两条边）// 找入度为2的节点所对应的边，注意要倒序，因为优先删除最后出现的一条边for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {if (inDegree[edges[i][1]] == 2) {vec.push_back(i);}}// 情况一、情况二if (vec.size() > 0) {// 放在vec里的边已经按照倒叙放的，所以这里就优先删vec[0]这条边if (isTreeAfterRemoveEdge(edges, vec[0])) {cout << edges[vec[0]][0] << " " << edges[vec[0]][1];} else {cout << edges[vec[1]][0] << " " << edges[vec[1]][1];}return 0;}// 处理情况三// 明确没有入度为2的情况，那么一定有有向环，找到构成环的边返回就可以了getRemoveEdge(edges);
}