高等数学 8.3 平面及其方程

一、曲面方程与空间曲线方程的概念

如果曲面 $S$ 与三元方程
$$F(x,y,z)=0\text{\hspace{1em}(3-1)}$$
有下述关系：

（1）曲面 $S$ 上任意一点的坐标都满足方程 $(3-1)$ ；

（2）不在曲面 $S$ 上的点的坐标都不满足方程 $(3-1)$ ，那么，方程 $(3-1)$ 就叫作曲面 $S$ 的方程，而曲面 $S$ 就叫作方程 $(3-1)$ 的图形。

空间曲线可以看作是两个曲面 $S_1,S_2$ 的交线。设
$$F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0$$
分别是这两个曲面的方程，它们的交线为 $C$ 。因为曲线 $C$ 上 的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0.\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(3-2)}$$
反过来，如果点 $M$ 不在曲线 $C$ 上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组 $(3-2)$ 。因此，曲线 $C$ 可以用方程组 $(3-2)$ 来表示。方程组 $(3-2)$ 就叫作 空间曲线 $C$ 的方程 ，而曲线 $C$ 叫做 方程组 $(3-2)$ 的图形 。

二、平面的点法式方程

如果一非零向量垂直于一平面，那么这个向量就叫做该 平面的法向量 。容易知道，平面上任一向量均与该平面的法向量垂直。

因为过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面 $\Pi$ 上一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和它的一个法向量 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ 为已知时，平面 $\Pi$ 的位置就完全确定了。

设 $M(x,y,z)$ 是平面 $\Pi$ 上的任一点，则向量 $\overrightarrow{M_{0}M}$ 必与平面 $\Pi$ 的法向量 $\mathbf{n}$ 垂直，即它们的数量积等于零。
$$\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=0$$
因为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ ，$\overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ ，所以有
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\text{\hspace{1em}(3-3)}$$
这就是平面 $\Pi$ 上任一点 $M$ 的坐标 $x,y,z$ 所满足的方程。

反过来，如果 $M(x,y,z)$ 不在平面 $\Pi$ 上，那么向量 $\overrightarrow{M_{0}M}$ 与法向量 $\mathbf{n}$ 不垂直，从而 $\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}\ne 0$ ，即不在平面 $\Pi$ 上的点 $M$ 的坐标不满足方程 $(3-3)$ 。

由此可知，平面 $\Pi$ 上的任一点的坐标 $x,y,z$ 都满足方程 $(3-3)$ ，不在平面 $\Pi$ 上的点的坐标都不满足方程 $(3-3)$ 。这样，方程 $(3-3)$ 就是平面 $\Pi$ 的方程，而平面 $\Pi$ 就是方程 $(3-3)$ 的图形。因为方程 $(3-3)$ 是由平面 $\Pi$ 上的一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 及它的一个法向量 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ 确定的，所以方程 $(3-3)$ 叫做 平面的点法式方程 。

例 求过三点 $M_1(2,-1,4),M_2(-1,3,-2)和M_3(0,2,3)$ 的平面的方程。

解：先找出这平面的法向量 $\mathbf{n}$ 。因为向量 $\mathbf{n}$ 与向量 $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ 和 $\overrightarrow{M_1{M}_3}$ 都垂直，而 $\overrightarrow{M_1{M}_2}=(-3,4,-6)$ ，$\overrightarrow{M_1{M}_3}=(-2,3,-1)$ ，所以可以取它们的向量积为 $\mathbf{n}$ ，即
$$\mathbf{n}=\overrightarrow{M_1{M}_2}\times \overrightarrow{M_1{M}_3}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ -3& 4& -6\\ -2& 3& -1\end{array}\right|=14\mathbf{i}+9\mathbf{j}-\mathbf{k},$$
根据平面的点法式方程 $(3-3)$ ，得所求平面的方程为
$$14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0$$
即
$$14x+9y-z-15=0$$

三、平面的一般方程

因为平面的点法式方程 $(3-3)$ 是 $x,y和z$ 的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示。

反过来，设有三元一次方程
$$Ax+By+Cz+D=0\text{\hspace{1em}(3-4)}$$
我们任取满足该方程的一组数 $x_0,y_0,z_0$ ，即
$$A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0\text{\hspace{1em}(3-5)}$$
把上述两等式相减，得
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\text{\hspace{1em}(3-6)}$$
把它和平面的点法式方程 $(3-3)$ 作比较，可以知道方程 $(3-6)$ 是通过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 且以 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ 为法向量的平面方程。方程 $(3-4)$ 与方程 $(3-6)$ 同解，这是因为由 $(3-4)$ 减去 $(3-5)$ 即得 $(3-6)$ ，又由 $(3-6)$ 加上 $(3-5)$ 就得 $(3-4)$ 。由此可知，任一三元一次方程 $(3-4)$ 的图形总是一个平面。方程 $(3-4)$ 称为 平面的一般方程 ，其中 $x,y,z$ 的系数就是该平面的一个法向量 $\mathbf{n}$ 的坐标，即 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ 。

对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点。

当 $D=0$ 时，方程 $(3-4)$ 成为 $Ax+By+Cz=0$ ，他表示一个通过原点的平面。

当 $A=0$ 时，方程 $(3-4)$ 成为 $By+Cz+D=0$ ，法向量 $\mathbf{n}=(0,B,C)$ 垂直于 $x$ 轴，方程表示一个平行于（或包含） $x$ 轴的平面。

同样，方程 $Ax+Cz+D=0$ 和 $Ax+By+D=0$ 分别表示一个平行于（或包含） $y$ 轴和 $z$ 轴的平面。

当 $A=B=0$ 时，方程 $(3-4)$ 成为 $Cz+D=0$ 或 $z=-\frac{D}{C}$ ，法向量 $\mathbf{n}=(0,0,C)$ 同时垂直于 $x$ 轴和 $y$ 轴，方程表示一个平行于（或重合于） $xOy$ 面的平面。

同样，方程 $Ax+D=0$ 和 $By+D=0$ 分别表示一个平行于（或重合于） $yOz$ 面和 $zOx$ 面的平面。

四、两平面的夹角

两平面法向量的夹角（通常指锐角或直角）成为两平面的夹角。

设平面 ${\Pi }_1$ 和 ${\Pi }_2$ 的法向量依次为 ${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$ 和 ${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$ ，则平面 ${\Pi }_1$ 和 ${\Pi }_2$ 的夹角 $\theta$ 应是 $(\widehat{{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2})$ 和 $(\widehat{-{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2})=\pi -(\widehat{{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2})$ 两者中的锐角或直角，因此 $\cos \theta =|\cos (\widehat{{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2})|$ 。按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面 ${\Pi }_1$ 和平面 ${\Pi }_2$ 的夹角 $\theta$ 可由
$$\cos \theta =\frac{\left|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2\right|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\text{\hspace{1em}(3-8)}$$
来确定。

从两向量垂直、平行的充分必要条件即得下列推论：

两平面 ${\Pi }_1$ 和 ${\Pi }_2$ 互相垂直相当于 $A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$ ；

两平面 ${\Pi }_1$ 和 ${\Pi }_2$ 互相平行或重合相当于 $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ .

原文链接：高等数学 8.3 平面及其方程