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第五章特征值与特征向量

news 2025/8/13 7:59:10

专题一特征值与特征向量的概念

1.特征值与特征向量的定义

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在数 $\lambda$ 与 $n$ 维非零列向量 ${\alpha}$ ，使得 $A{\alpha} = \lambda{\alpha},(\alpha \neq 0)$ ，

则称 ${\alpha}$ 为矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量.

【评注】（1）设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $\alpha$ 为线性方程组 $Ax=0$ 的非零解，则 ${\alpha}$ 为矩阵 $A$ 属于特征值 $0$ 的特征向量；

证明： $A\alpha =0=0\cdot \alpha ,\left ( \alpha \neq 0 \right )$

（2）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 $\lambda$ ，则 $(1,1,\cdots,1)^T$ 为矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

证明： $A\begin{pmatrix} 1\\ \vdots\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ \vdots\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda \\ \vdots\\ \lambda \end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} 1\\ \vdots\\ 1 \end{pmatrix}$

2.特征多项式与特征方程的定义

$A\alpha =\lambda \alpha \Rightarrow (A-\lambda E)\alpha =0$

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，称

$\vert A - \lambda E\vert = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \end{vmatrix}=(-\lambda )^n\cdots$

为 $A$ 的特征多项式（特征值 $\lambda$ 的n次多项式），称 $\vert A - \lambda E\vert = 0$ 为 $A$ 的特征方程（特征值 $\lambda$ 的n次方程）。

3.特征方程法

（1）解特征方程 $\vert A - \lambda E\vert = 0$ ，得 $A$ 的 $n$ 个特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ；

例如： $\left | \lambda E -A\right |=(\lambda -1)^2(\lambda -2)=0$ ,得 $\lambda _1=\lambda _2=1,\lambda _3=2$

n次方程n个根，重复的根重复写

（2）解方程组 $(A - \lambda_i E)x = 0(i = 1, 2, \cdots, n)$ ，得基础解系，即特征值 $\lambda_i$ 的 $n - r(A - \lambda_i E)$ 个线性无关的特征向量.

证明： $A\alpha =\lambda \alpha,\alpha \neq 0 \Leftrightarrow (A-\lambda E)\alpha =0$ ,即 $\alpha$ 为方程组 $(A-\lambda E)x=0$ 的非零解， $\Leftrightarrow \left | A-\lambda E \right |=0\Leftrightarrow r(A-\lambda E)< n$

【评注】

（1）上（下）三角矩阵、主对角矩阵的特征值为主对角线元素；

证明： $\left | A-\lambda E \right |=\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots& \vdots\\ 0& \cdots & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=(a_{11}-\lambda )\cdots(a_{nn}-\lambda )=0$ ,

得 $\lambda _1=a_{11},\cdots,\lambda _n=a_{nn}$

（2）设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $aA + bE(a \neq 0)$ 不可逆，即 $\vert aA + bE\vert = 0$ ，则 $\lambda = -\frac{b}{a}$ 为 $A$ 的特征值.

证明： $aA+bE$ 不可逆 $\Leftrightarrow \left | aA+bE =0\right |\Leftrightarrow a^n\left | A+\frac{b}{a} E\right |=0\Leftrightarrow \left | A-(-\frac{b}{a})E \right |=0$ $\Leftrightarrow \lambda =-\frac{b}{a}$ 为 $A$ 的特征值。

例如： $2A+3E$ 不可逆，则 $\lambda =-\frac{3}{2}$ 为 $A$ 的特征值。

4.特征值与特征向量的性质

证明见讲义P59

（1）不同特征值的特征向量线性无关；

（2）不同特征值的特征向量之和不是特征向量；

（3） $k$ 重特征值最多有 $k$ 个线性无关的特征向量；

（4）设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n}\lambda_i=\sum_{i = 1}^{n}a_{ii}=tr(A)$ ， $\prod_{i = 1}^{n}\lambda_i = \vert A\vert$ ；

（5）若 $r(A)=1$ ，即 $A = \alpha\beta^T$ ，其中 $\alpha,\beta$ 为 $n$ 维非零列向量，则 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = tr(A)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha$ ， $\lambda_2=\cdots=\lambda_n = 0$ ；

（6）设 $\alpha$ 为矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则

		多项式	逆	伴随	转置	相似矩阵
矩阵	A	$f(A)$	$A^{-1}$	$A^*$	$A^T$	$P^{-1}AP$
特征值	$\lambda$	$f(\lambda )$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{\left \| A \right \|}{\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$
特征向量	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$		$P^{-1}\alpha$

5.特征值与特征向量的求法

（1） $A$ 为数字矩阵：特征方程法；

（2） $A$ 为抽象矩阵：利用特征值与特征向量的定义或性质.

专题二相似对角化

1.相似矩阵的定义

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $B = P^{-1}AP$ ，则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$ 。

2.相似矩阵的性质

证明见讲义P61

（1）若 $A\sim B$ ，则 $A,B$ 有相同的行列式、秩、特征方程、特征值、迹；

（2）若 $A\sim B$ ，则 $f(A)\sim f(B)$ ， $A^{-1}\sim B^{-1}$ ， $A^{*}\sim B^{*}$ ， $A^{T}\sim B^{T}$ ；

（3）（传递性）若 $A\sim B$ ， $B\sim C$ ，则 $A\sim C$ 。

专题三相似对角化

1.相似对角化的定义

设 $A$ 为n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵 $P$ ，使得

$P^{-1}AP = \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$

则称 $A$ 可相似对角化。A相似于对角矩阵

进一步分析：由 $P^{-1}AP = \Lambda$ ，得 $AP = P\Lambda$ 。

将 $P$ 按列分块，得

$AP =A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) =(A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_n)=P\Lambda$

$=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$

$=(\lambda_1\alpha_1,\lambda_2\alpha_2,\cdots,\lambda_n\alpha_n)$

从而 $A\alpha_i = \lambda_i\alpha_i(\alpha_i \neq 0),i = 1,2,\cdots,n$ ，

即 $P$ 的 第 $i$ 列 $\alpha_i$ 为矩阵 $A$ 属于 特征值 $\lambda_i$ 的特征向量，

故 $P$ 是由 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 构成的 可逆矩阵， $\Lambda$ 是由 $A$ 的 $n$ 个特征值构成的 对角矩阵。

【评注】若 $A,B$ 均可相似对角化，则 $A$ 与 $B$ 相似 $\Leftrightarrow A,B$ 有相同的特征值。

2.相似对角化的充要条件

$n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化 $\Leftrightarrow A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\Leftrightarrow k$ 重特征值有 $k$ 个线性无关的特征向量

3.相似对角化的充分条件

（1） $A$ 有 $n$ 个不同的特征值；

（2） $A$ 为实对称矩阵。

【评注】若 $A$ 可相似对角化，特别地 $A$ 为实对称矩阵，则 $r(A)$ 等于非零特征值的个数。

专题四实对称矩阵

1.实对称矩阵的性质

（1）特征值均为实数；

（2）不同特征值的特征向量正交；

（3） $k$ 重特征值有 $k$ 个线性无关的特征向量；

（4） $A$ 可正交相似对角化，即存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$

2.正交矩阵Q的求法

（1）求 $A$ 的 $n$ 个特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ ；

（2）求 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ ；

（3）将不同特征值的特征向量分别 Schmidt 正交化，得 $\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n$ ，得到正交矩阵 $Q = (\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)$ 。

3.实对称矩阵的分解定理

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵， $\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n$ 为矩阵 $A$ 分别属于特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 的单位正交的特征向量，则 $A = \lambda_1\gamma_1\gamma_1^{T} + \lambda_2\gamma_2\gamma_2^{T} + \cdots + \lambda_n\gamma_n\gamma_n^{T}$ 。