【MATLAB】（八）矩阵

一.矩阵的定义

MATLAB 以矩阵作为数据操作的基本单位，这使得矩阵运算变得非常简捷、方便、高效。矩阵是由m*n个数q(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)，排成的m行n列数表，记成

称为 mxn 矩阵，也可以记成aij或Am*n。其中,i表示行数,j表示列数。若 m=n，则该矩阵为n阶矩阵(n阶方阵)。

由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵，如果A=(aij)是mxn矩阵,那么A有m个n维行向量;有n个m维列向量。

矩阵的生成主要有直接输入法、M 文件生成法和文本文件生成法等。 

二.MATLAB中矩阵的创建

1.按行直接输入    

在键盘上直接按行方式输入矩阵是最方便、最常用的创建数值矩阵的方法，尤其适合较小的简单矩阵。在用此方法创建矩阵时，应当注意以下几点。
①输入矩阵时要以“[ ]”为其标识符号，矩阵的所有元素必须都在括号内。
②矩阵同行元素之间由空格(个数不限)或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔。
③矩阵大小不需要预先定义。
④矩阵元素可以是运算表达式。
⑤若“[ ]”中无元素，表示空矩阵。
⑥如果不想显示中间结果，可以用“ ；”结束。

>> a=[15 15 15;15 15 15;15 15 15]a =15    15    1515    15    1515    15    15>> [[1 2 3];[2 4 6];[7 8 9]]ans =1     2     32     4     67     8     9>> [[1,1+i,2];[2,3+2i,1]]ans =1.0000 + 0.0000i   1.0000 + 1.0000i   2.0000 + 0.0000i2.0000 + 0.0000i   3.0000 + 2.0000i   1.0000 + 0.0000i

2.M文件生成法

  当矩阵的规模比较大时，直接输入法就显得笨拙，出差错也不易修改。为了解决这些问题，可以将所要输入的矩阵按格式先写入一文本文件中，并将此文件以m为其扩展名，即M 文件。

  M 文件是一种可以在 MATLAB 环境下运行的文本文件，它可以分为命令式文件和函数式文件两种。在此处主要用到的是命令式M 文件，用它的简单形式来创建大型矩阵。在 MATLAB命令行窗口中输入 M 文件名，所要输入的大型矩阵即可被输入到内存中。

M 文件中的变量名与文件名不能相同，否则会造成变量名和函数名的混乱。运行 M文件时，需要先将 M文件sample.m 复制到当前目录文件夹下，否则运行时无法调用。

3.利用文本创建

 MATLAB 中的矩阵还可以由文本文件创建，即在文件夹(通常为work文件夹)中建立txt 文件，在命令行窗口中直接调用此文件名即可。

(1)事先在记事本中建立文件。
(2)以goods.txt保存，在MATLAB 命令行窗口中输入。

由此创建商品矩阵x。

4.导入数据

三.MATLAB矩阵常用函数

（1）eye 函数：生成单位矩阵

>> E1=eye(3)E1 =1     0     00     1     00     0     1>> E2=eye(2,4)E2 =1     0     0     00     1     0     0>> E3=eye(size(E1))E3 =1     0     00     1     00     0     1

（2） ones 函数：生成全 1 矩阵

% 生成 3×3 全 1 矩阵
O1 = ones(3);
disp('ones(3) 生成的全 1 矩阵：');
disp(O1);% 生成 2×4 全 1 矩阵 
O2 = ones(2, 4);
disp('ones(2, 4) 生成的全 1 矩阵：');
disp(O2);% 生成与矩阵 A 维数相同的全 1 矩阵
A = [1 2; 3 4; 5 6];
O3 = ones(size(A));
disp('ones(size(A)) 生成的全 1 矩阵（与 A 同维度）：');
disp(O3);

>> test
ones(3) 生成的全 1 矩阵：1     1     11     1     11     1     1ones(2, 4) 生成的全 1 矩阵：1     1     1     11     1     1     1ones(size(A)) 生成的全 1 矩阵（与 A 同维度）：1     11     11     1

 （3）eros 函数：生成全 0 矩阵

% 生成 3×2 全 0 矩阵 
Z1 = zeros(3, 2);
disp('zeros(3, 2) 生成的全 0 矩阵：');
disp(Z1);% 生成与矩阵 A 维数相同的全 0 矩阵
A = [1 2 3; 4 5 6];
Z2 = zeros(size(A));
disp('zeros(size(A)) 生成的全 0 矩阵（与 A 同维度）：');
disp(Z2);

>> test
zeros(3, 2) 生成的全 0 矩阵：0     00     00     0zeros(size(A)) 生成的全 0 矩阵（与 A 同维度）：0     0     00     0     0

（4）rand 函数：生成均匀分布随机矩阵

每次运行结果不同，元素值在 0 到 1 之间随机 。

% 生成 3×3 在 [0,1] 区间均匀分布的随机矩阵
R1 = rand(3);
disp('rand(3) 生成的随机矩阵：');
disp(R1);% 生成 2×4 在 [0,1] 区间均匀分布的随机矩阵 
R2 = rand(2, 4);
disp('rand(2, 4) 生成的随机矩阵：');
disp(R2);% 生成与矩阵 A 维数相同的随机矩阵
A = [1 2; 3 4];
R3 = rand(size(A));
disp('rand(size(A)) 生成的随机矩阵（与 A 同维度）：');
disp(R3);

>> test
rand(3) 生成的随机矩阵：0.8147    0.9134    0.27850.9058    0.6324    0.54690.1270    0.0975    0.9575rand(2, 4) 生成的随机矩阵：0.9649    0.9706    0.4854    0.14190.1576    0.9572    0.8003    0.4218rand(size(A)) 生成的随机矩阵（与 A 同维度）：0.9157    0.95950.7922    0.6557

 （5）compan 函数：生成多项式伴随矩阵

% 多项式系数向量 P，对应多项式 x^3 + 2x^2 + 3x + 4 （注意系数按降幂排列，缺项补 0 ）
P = [1 2 3 4];
C = compan(P);
disp('compan(P) 生成的伴随矩阵：');
disp(C);

>> test
compan(P) 生成的伴随矩阵：-2    -3    -41     0     00     1     0

 生成的伴随矩阵和多项式根等特性相关，可用于多项式分析 。

（6）diag 函数：生成对角矩阵

主对角线上是向量 v 的元素，其余为 0 。

% 以向量 v 的元素为对角线元素生成对角矩阵
v = [1 2 3];
D = diag(v);
disp('diag(v) 生成的对角矩阵：');
disp(D);

>> test
diag(v) 生成的对角矩阵：1     0     00     2     00     0     3

 （7） hilb 函数：生成 Hilbert 矩阵

% 生成 3×3 Hilbert 矩阵
H = hilb(3);
disp('hilb(3) 生成的 Hilbert 矩阵：');
disp(H);

>> test
hilb(3) 生成的 Hilbert 矩阵：1.0000    0.5000    0.33330.5000    0.3333    0.25000.3333    0.2500    0.2000

Hilbert 矩阵元素 H(i,j) = 1/(i + j - 1) ，是典型的病态矩阵，常用于测试算法稳定性 。 

（8）magic 函数：生成魔方矩阵

% 生成 3 阶魔方矩阵（每行、每列、两条对角线元素和相等 ）
M = magic(3);
disp('magic(3) 生成的魔方矩阵：');
disp(M);

>> test
magic(3) 生成的魔方矩阵：8     1     63     5     74     9     2

magic(n) 函数生成的 n 阶魔方矩阵，是一个 n×n 的方阵，满足每行、每列以及两条主对角线上的元素之和都相等 ，这个相等的和值被称为幻和 。数学上，n 阶魔方矩阵幻和的计算公式是 S = n×(n² + 1)/2 。3 阶魔方矩阵经典结果是 [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2] ，各行、列、对角线和为 15 。

（9）sparse 函数：生成稀疏矩阵

% 先创建一个普通矩阵 A
A = [0 0 1; 0 2 0; 3 0 0];
% 将 A 转化为稀疏矩阵形式
S = sparse(A);
disp('sparse(A) 生成的稀疏矩阵：');
disp(S);
% 查看稀疏矩阵存储方式（只存储非零元素的下标和值 ）
disp('稀疏矩阵的存储内容：');
disp(full(S));  % full 函数可还原回普通矩阵查看 

>> test
sparse(A) 生成的稀疏矩阵：(3,1)        3(2,2)        2(1,3)        1稀疏矩阵的存储内容：0     0     10     2     03     0     0

 稀疏矩阵适合存储大部分元素为 0 的矩阵，节省内存，常用于大规模矩阵运算场景 。

四.MATLAB的矩阵运算

矩阵中的元素与向量中的元素一样，可以进行抽取引用、编辑修改等操作。

1.矩阵元素的修改

矩阵建立起来之后，还需要对其元素进行修改。表5-1列出了常用的矩阵元素修改命令。

（1）矩阵的扩充

>> A=eye(2)A =1     00     1>> B=ones(2)B =1     11     1>> C=[A B]C =1     0     1     10     1     1     1>> D=[C;B A]D =1     0     1     10     1     1     11     1     1     01     1     0     1>> 

 需要注意的是C的列数需要和B+A的一样

（2）矩阵中行的删除

>> CC =1     0     1     10     1     1     1>> C(1,:)=[]C =0     1     1     1

（3）矩阵中列的删除

>> C=[A B]C =1     0     1     10     1     1     1>> C(:,2)=[]C =1     1     10     1     1

 （4）矩阵中元素的赋值

>> D=[A;B C]D =1     2     34     5     61     0     00     1     0>> D(1,3)=5D =1     2     54     5     61     0     00     1     0

2.矩阵的变维

  矩阵的变维可以用符号“ ：”法和reshape 函数法。

①reshape 函数的调用

reshape(X,m,n)，可将已知矩阵变维成m行n列的矩阵。

>> D(1,3)=5D =1     2     54     5     61     0     00     1     0>> reshape(D,3,4)ans =1     0     0     64     2     1     01     5     5     0

②“ ：” 法

>> A=1:12A =列 1 至 111     2     3     4     5     6     7     8     9    10    11列 1212>> C=zeros(3,4)C =0     0     0     00     0     0     00     0     0     0>> C(:)=A(:)C =1     4     7    102     5     8    113     6     9    12

变维是按列重新排的

3.矩阵的变向

C =1     4     7    102     5     8    113     6     9    12>> flipdim(C,1)ans =3     6     9    122     5     8    111     4     7    10>> flipdim(C,2)ans =10     7     4     111     8     5     212     9     6     3

4.矩阵的抽取

 对矩阵元素的抽取主要是指对角元素和上(下)三角阵的抽取。对角矩阵和三角矩阵的抽取命令见表 5-3。

（1）diag(X,k) 和 diag(X)：抽取矩阵对角线元素

% 创建一个 4×4 矩阵
X = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16];% 抽取主对角线（k=0）元素，得到向量 [1,6,11,16]
d0 = diag(X);
disp('diag(X) 抽取主对角线结果：');
disp(d0);% 抽取上方第 1 条对角线（k=1）元素，得到向量 [2,7,12]
d1 = diag(X,1);
disp('diag(X,1) 抽取上方第 1 条对角线结果：');
disp(d1);% 抽取下方第 1 条对角线（k=-1）元素，得到向量 [5,10,15]
d_1 = diag(X,-1);
disp('diag(X,-1) 抽取下方第 1 条对角线结果：');
disp(d_1);

>> test
diag(X) 抽取主对角线结果：161116diag(X,1) 抽取上方第 1 条对角线结果：2712diag(X,-1) 抽取下方第 1 条对角线结果：51015

k=0 对应主对角线，k>0 对应主对角线上方的对角线，k<0 对应主对角线下方的对角线，按此规则抽取对应位置元素组成向量 。 

（2）diag(v,k) 和 diag(v)：用向量构造对角矩阵

% 定义向量 v
v = [10,20,30];% 构造主对角线为 v 的对角矩阵，得到 3×3 矩阵 diag(10,20,30)
M1 = diag(v);
disp('diag(v) 构造主对角线矩阵结果：');
disp(M1);% 构造上方第 1 条对角线为 v 的矩阵，得到 5×5 矩阵（行数 = 向量长度 + |k| ，这里 k=1 ，所以 3 + 1 = 4 ？实际是 length(v)+abs(k) ，v 长度 3 ，k=1 ，得到 4×4 矩阵 ）
M2 = diag(v,1);
disp('diag(v,1) 构造上方第 1 条对角线矩阵结果：');
disp(M2);

>> test
diag(v) 构造主对角线矩阵结果：10     0     00    20     00     0    30diag(v,1) 构造上方第 1 条对角线矩阵结果：0    10     0     00     0    20     00     0     0    300     0     0     0

 diag(v) 会生成以 v 元素为主对角线的对角矩阵；diag(v,k) 则把 v 元素放到第 k 条对角线上，其余位置补 0 ，矩阵维度由向量长度和 k 共同决定 。

（3）tril 函数：提取下三角部分

% 还是用前面的 4×4 矩阵 X
X = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16];% 提取主下三角部分（主对角线及以下），得到下三角矩阵
T1 = tril(X);
disp('tril(X) 提取主下三角结果：');
disp(T1);% 提取第 1 条对角线下面的部分（包括第 1 条对角线，k=1 ，即主对角线及下方 1 条对角线 ）
T2 = tril(X,1);
disp('tril(X,1) 提取第 1 条对角线下面部分结果：');
disp(T2);% 提取第 -1 条对角线下面的部分（k=-1 ，即主对角线下方第 1 条对角线及更下面 ）
T3 = tril(X,-1);
disp('tril(X,-1) 提取第 -1 条对角线下面部分结果：');
disp(T3);

>> test
tril(X) 提取主下三角结果：1     0     0     05     6     0     09    10    11     013    14    15    16tril(X,1) 提取第 1 条对角线下面部分结果：1     2     0     05     6     7     09    10    11    1213    14    15    16tril(X,-1) 提取第 -1 条对角线下面部分结果：0     0     0     05     0     0     09    10     0     013    14    15     0

tril(X) 直接提取主对角线及以下元素，形成下三角矩阵；tril(X,k) 依据 k 值确定提取范围，k 越大，包含的对角线越靠上，提取的下三角部分越 “大” 。

（4）triu 函数：提取上三角部分

% 基于矩阵 X 演示
X = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16];% 提取主上三角部分（主对角线及以上），得到上三角矩阵
U1 = triu(X);
disp('triu(X) 提取主上三角结果：');
disp(U1);% 提取第 1 条对角线上面的部分（包括第 1 条对角线，k=1 ，即主对角线及上方 1 条对角线 ）
U2 = triu(X,1);
disp('triu(X,1) 提取第 1 条对角线上面部分结果：');
disp(U2);% 提取第 -1 条对角线上面的部分（k=-1 ，即主对角线上方第 1 条对角线及更上面 ，其实就是主对角线及以上 ，因为 k=-1 表示主对角线下方，取上面部分就是主对角线及以上 ，结果和 triu(X) 类似 ）
U3 = triu(X,-1);
disp('triu(X,-1) 提取第 -1 条对角线上面部分结果：');
disp(U3);

>> test
triu(X) 提取主上三角结果：1     2     3     40     6     7     80     0    11    120     0     0    16triu(X,1) 提取第 1 条对角线上面部分结果：0     2     3     40     0     7     80     0     0    120     0     0     0triu(X,-1) 提取第 -1 条对角线上面部分结果：1     2     3     45     6     7     80    10    11    120     0    15    16

triu(X) 提取主对角线及以上元素形成上三角矩阵；triu(X,k) 根据 k 确定提取范围，k 越小，包含的对角线越靠下，提取的上三角部分越 “大” ，和 tril 函数功能相反但逻辑类似 。

5.MATLAB矩阵基本运算

  矩阵的基本运算包括加、减、乘、数乘、点乘、乘方、左除、右除、求逆等。其中加、减、乘与大家所学的线性代数中的定义是一样的，相应的运算符为+ - *

  矩阵的除法运算是MATLAB所特有的，分为左除和右除，相应运算符为“\”和“/”。一般情况下，方程 A*X=B 的解是 X=A\B，而方程 X*A=B 的解是 X=B/A。
对于上述的四则运算，需要注意的是：矩阵的加、减、乘运算的维数要求与线性代数中的要求一致。

（1）矩阵的加减法

设A=(ai)，B=(b)都是mxn矩阵，矩阵A与B的和记成A+B，规定为

①交换律A+B=B+A
②结合律(A+B)+C=A+(B+C)

（2）矩阵的乘法运算

若3个矩阵有相乘关系，设A=(ai)是一个m*s矩阵，B=(b)是一个s*n矩阵，规定A与B的积为一个 m*n 矩阵 C=(cij)。

即 C=A*B，需要满足以下3种条件：
①矩阵4的列数与矩阵B的行数相同；

②矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数；

③矩阵C的第m行n列元素值等于矩阵A的m行元素与矩阵B的n列元素对应值积的和。

>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> b=[4 5 6;7 8 9;10 11 12];
>> a*bans =48    54    60111   126   141174   198   222

注意：

①若矩阵A、B满足AB=0，未必有A=0或 B=0 的结论。

②AB≠BA，矩阵的乘法并不满足交换律。

（3）矩阵的点乘运算

点乘运算指将两矩阵中相同位置的元素进行相乘运算，将积保存在原位置组成新矩阵。

>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]a =1     2     34     5     67     8     9>> b=[4 5 6;7 8 9;10 11 12]b =4     5     67     8     910    11    12>> a.*bans =4    10    1828    40    5470    88   108

（4）矩阵的除法运算

  计算左除A\B时，A的行数要与B的行数一致。计算右除A/B时，A的列数要与B的列数一致。
①.左除运算
由于矩阵的特殊性，A*B通常不等于 B*A，除法也一样。因此除法要区分左右。线性方程组 D*X=B，如果D非奇异，即它的逆矩阵 inv(D)存在，则其解用 MATLAB 表示为X=inv(D)*B=D\B。符号“\”称为左除，即分母放在左边。
左除的条件:B的行数等于D的阶数(D的行数和列数相同，简称阶数)。

  ②.右除运算
若方程组表示为 X*D1=B1，D1非奇异，即它的逆阵 inv(D1)存在，则其解为X=B1*inv(D1)=B1/D1
符号“/”称为右除。
右除的条件:B1的列数等于D1的阶数(D1的行数和列数相同，简称阶数)。

5.MATLAB矩阵运算常用函数

（1） 基础矩阵运算（行列式、逆、秩、迹）

% 定义一个测试矩阵
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];% 1. det：计算行列式
det_A = det(A);
disp('det(A) 行列式结果：');
disp(det_A);  % 输出 0（因为矩阵行线性相关）% 2. inv：计算矩阵的逆（注意：奇异矩阵无逆，这里换可逆矩阵演示）
B = [1 2; 3 4];
inv_B = inv(B);
disp('inv(B) 矩阵的逆：');
disp(inv_B);  % 输出 [-2 1; 1.5 -0.5]% 3. rank：计算矩阵的秩
rank_A = rank(A);
disp('rank(A) 矩阵的秩：');
disp(rank_A);  % 输出 2（因为行线性相关）% 4. trace：计算矩阵的迹（主对角线元素和）
trace_A = trace(A);
disp('trace(A) 矩阵的迹：');
disp(trace_A);  % 输出 1+5+9=15

>> test
det(A) 行列式结果：6.6613e-16inv(B) 矩阵的逆：-2.0000    1.00001.5000   -0.5000rank(A) 矩阵的秩：2trace(A) 矩阵的迹：15

（2）特征值与范数

% 定义矩阵
C = [1 0; 0 2];% 5. eig：计算特征值
eig_C = eig(C);
disp('eig(C) 特征值：');
disp(eig_C);  % 输出 [1; 2]（对角矩阵的特征值就是对角线元素）% 6. norm：计算矩阵的范数（默认 2-范数）
norm_C = norm(C);
disp('norm(C) 矩阵范数（2-范数）：');
disp(norm_C);  % 输出 2（最大奇异值，对角矩阵的 2-范数是最大对角线元素）% 7. normest：估算 2-范数（适合大矩阵快速计算）
normest_C = normest(C);
disp('normest(C) 估算 2-范数：');
disp(normest_C);  % 输出 2（与 norm 结果一致）

>> test
eig(C) 特征值：12norm(C) 矩阵范数（2-范数）：2normest(C) 估算 2-范数：2.0000

（3） 矩阵变换（三角矩阵、翻转、旋转）

% 定义矩阵
D = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];% 8. triu：提取上三角矩阵
triu_D = triu(D);
disp('triu(D) 上三角矩阵：');
disp(triu_D);  
% 输出：
% 1 2 3
% 0 5 6
% 0 0 9% 9. tril：提取下三角矩阵
tril_D = tril(D);
disp('tril(D) 下三角矩阵：');
disp(tril_D);  
% 输出：
% 1 0 0
% 4 5 0
% 7 8 9% 10. rot90：逆时针旋转 90°
rot90_D = rot90(D);
disp('rot90(D) 逆时针旋转 90°：');
disp(rot90_D);  
% 输出：
% 3 6 9
% 2 5 8
% 1 4 7% 11. fliplr：左右翻转
fliplr_D = fliplr(D);
disp('fliplr(D) 左右翻转：');
disp(fliplr_D);  
% 输出：
% 3 2 1
% 6 5 4
% 9 8 7% 12. flipud：上下翻转
flipud_D = flipud(D);
disp('flipud(D) 上下翻转：');
disp(flipud_D);  
% 输出：
% 7 8 9
% 4 5 6
% 1 2 3

>> test
triu(D) 上三角矩阵：1     2     30     5     60     0     9tril(D) 下三角矩阵：1     0     04     5     07     8     9rot90(D) 逆时针旋转 90°：3     6     92     5     81     4     7fliplr(D) 左右翻转：3     2     16     5     49     8     7flipud(D) 上下翻转：7     8     94     5     61     2     3

（4）高级运算（条件数、指数、对数）

% 定义一个可逆且特征值全为正的矩阵（避免logm警告）
E = [4 1; 1 3];  % 特征值为5和2（均为正数，确保logm返回实数）% 13. cond：计算条件数（衡量矩阵病态程度，值越大越病态）
cond_E = cond(E);
disp('cond(E) 条件数：');
disp(cond_E);  % 输出约2.618（值较小，矩阵性态良好）% 14. expm：矩阵的指数运算（基于矩阵幂级数）
expm_E = expm(E);
disp('expm(E) 矩阵指数：');
disp(expm_E);  
% 输出指数矩阵（实数结果）
% 原理：expm(E) = sum_{k=0}^∞ (E^k / k!)% 15. logm：矩阵的对数运算（expm的逆运算）
logm_E = logm(E);
disp('logm(E) 矩阵对数：');
disp(logm_E);  
% 输出对数矩阵（实数结果，无警告）
% 验证：expm(logm_E) 应近似等于原矩阵E
disp('验证 logm 与 expm 的互逆性：');
disp(expm(logm_E));  % 输出接近原矩阵E

>> test
cond(E) 条件数：1.9387expm(E) 矩阵指数：76.2898   40.458840.4588   35.8311logm(E) 矩阵对数：1.3470    0.29610.2961    1.0509验证 logm 与 expm 的互逆性：4.0000    1.00001.0000    3.0000

 （5） 矩阵重构与简化

% 定义矩阵
F = [1 2 3 4; 5 6 7 8];% 16. reshape：改变矩阵维度（元素按列优先重构）
reshape_F = reshape(F, 4, 2);
disp('reshape(F,4,2) 改变维度：');
disp(reshape_F);  
% 输出：
% 1 5
% 2 6
% 3 7
% 4 8% 17. rref：转换成行最简阶梯形
G = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
rref_G = rref(G);
disp('rref(G) 行最简阶梯形：');
disp(rref_G);  
% 输出：
% 1 0 -1
% 0 1 2
% 0 0 0

>> test
reshape(F,4,2) 改变维度：1     35     72     46     8rref(G) 行最简阶梯形：1     0    -10     1     20     0     0

 （6） 特殊矩阵运算

% 1. 先创建一个有复数特征值的矩阵（例如旋转矩阵）
A = [0 -1; 1 0];  % 特征值为 i 和 -i（共轭复数）% 2. 求复数特征值和特征向量
[Vc, Dc] = eig(A);  % Vc 是复数特征向量，Dc 是复数对角矩阵（特征值）% 3. 使用 cdf2rdf 转换为实数块对角形式
[V, D] = cdf2rdf(Vc, Dc);% 显示结果
disp('复数特征向量矩阵 Vc：');
disp(Vc);
disp('复数对角矩阵 Dc（特征值）：');
disp(Dc);
disp('转换后的实数特征向量矩阵 V：');
disp(V);
disp('转换后的实数块对角矩阵 D：');
disp(D);

>> test
复数特征向量矩阵 Vc：0.7071 + 0.0000i   0.7071 + 0.0000i0.0000 - 0.7071i   0.0000 + 0.7071i复数对角矩阵 Dc（特征值）：0.0000 + 1.0000i   0.0000 + 0.0000i0.0000 + 0.0000i   0.0000 - 1.0000i转换后的实数特征向量矩阵 V：1.0000         00   -1.0000转换后的实数块对角矩阵 D：0     1-1     0

6.MATLAB矩阵的幂运算

A是一个n阶矩阵，k是一个正整数，规定A^k=A*A*A*......*A（k个A相乘），称为矩阵的幂。其中k，l为正整数。

矩阵的幂运算是将矩阵中每个元素进行乘方运算，即：

在MATLAB中，幂运算就是在乘方符号" .^ "后面输入幂的次数。对于单个n阶矩阵A，A^k*A^l=A^(k+l)，(A^K)^l=A^(k*l)。

对于两个n阶矩阵A与B，(A*B)^k≠A^k*B^k

7.MATLAB逆矩阵

（1）逆矩阵的定义

对于n阶方阵 A，如果有n阶方阵B满足AB=BA=I，则称矩阵A为可逆的，称方阵B为A的逆矩阵，记为 A^(-1)。

（2）逆矩阵的性质:

①若 A可逆，则A^(-1)是唯一的。

②若A可逆，则A^(-1)也可逆，并且(A^(-1))^(-1)=A。

③若n阶方阵A与B都可逆，则AB也可逆，且(AB)-1=B-A-。

④若 A可逆，则|A^(-1)|=|A|^(-1)

（3）奇异矩阵和非奇异矩阵：

我们把满足|A|≠0 的方阵 A称为非奇异的，否则就称为奇异的

（4）求解矩阵的逆使用函数 inv

调用格式：Y=inv(x)

（5）求解矩阵的逆条件数值使用函数 rcond

另外，常用的运算还有指数函数、对数函数、平方根函数等。用户可查看相应的帮助获得使用方法和相关信息。

8.MATLAB中矩阵的条件数

（1）矩阵的条件数

在数值分析中是一个重要的概念，在工程计算中也是必不可少的，它用于刻画一个矩阵的“病态”程度。

（2）条件数的定义

对于非奇异矩阵 A，其条件数的定义为cond(A)v=||A^-1||v *||A||v，其中v=1,2,……,F
它是一个大于或等于1的实数，当A的条件数相对较大，即cond(A)>>1时，矩阵A是“病态”的，反之是“良态”的。

9.MATLAB中矩阵的范式

范数是数值分析中的一个概念，它是向量或矩阵大小的一种度量，在工程计算中有着重要的作用。对于向量x∈R^n，常用的向量范数有以下几种。

10.MATLAB中的奇异值分解

11.MATLAB中矩阵运算的方程求解

  无论是在工程应用问题还是数学计算问题，方程都是问题转化的重要途径之一，通过将复杂的问题简单转化成矩阵的求解问题，最后在MATLAB 中进行函数计算。本节通过对一个方程组的应用来介绍如何介绍方程组的求解问题。

利用 MATLAB 中求解多元方程组的不同方法进行求解。

上面的方程符合Ax=b，首先需要确定方程组解的信息

系数矩阵 A 是由方程组中未知数 x1，x2，x3，x4 的系数按行排列构成的矩阵：

常数项向量 b 是方程组等号右边的常数按行排列构成的列向量：

方法一：利用矩阵求逆（inv 函数 ）

思路：如果矩阵 A 是可逆的（即行列式 det(A)≠0 ，满秩 ），那么方程组的解x=A^-1*b

% 定义系数矩阵 A
A = [2 1 -5 1; 1 -3 0 -6; 0 2 -1 2; 1 4 -7 6];
% 定义常数项向量 b
b = [8; 9; -5; 0];% 计算矩阵 A 的逆矩阵
A_inv = inv(A);
% 求解方程组 Ax = b，得到解向量 x
x = A_inv * b;% 显示解
disp('方程组的解为：');
disp(x);

>> test
方程组的解为：3.0000-4.0000-1.00001.0000

首先通过 inv 函数求矩阵 A 的逆矩阵A_inv，然后将其与常数项向量 b 相乘，得到解向量 x 。

方法二：左除运算（\ 运算符 ）

在 MATLAB 中，对于线性方程组 Ax = b ，更高效且数值稳定性更好的方法是使用左除运算符 \ ，代码如下：

% 定义系数矩阵 A
A = [2 1 -5 1; 1 -3 0 -6; 0 2 -1 2; 1 4 -7 6];
% 定义常数项向量 b
b = [8; 9; -5; 0];% 直接使用左除运算求解
x = A \ b;% 显示解
disp('方程组的解为：');
disp(x);

>> test
方程组的解为：3.0000-4.0000-1.00001.0000

左除运算会根据矩阵 A 的特性（是否为方阵、是否满秩等 ）自动选择合适的算法来求解方程组，一般优先推荐这种方法。 

方法三：通过求秩和增广矩阵判断解的情况

在求解前，也可以先判断方程组解的情况，通过计算系数矩阵 A 的秩rank(A)和增广矩阵 [A|b]的秩rank([A b] 来确定：

% 定义系数矩阵 A
A = [2 1 -5 1; 1 -3 0 -6; 0 2 -1 2; 1 4 -7 6];
% 定义常数项向量 b
b = [8; 9; -5; 0];% 构造增广矩阵
aug_matrix = [A b];% 计算系数矩阵的秩和增广矩阵的秩
rank_A = rank(A);
rank_aug = rank(aug_matrix);if rank_A == rank_aug && rank_A == size(A, 2)disp('方程组有唯一解，求解结果如下：');x = A \ b;disp(x);
elseif rank_A == rank_aug && rank_A < size(A, 2)disp('方程组有无穷多解');
elsedisp('方程组无解');
end

>> test
方程组有唯一解，求解结果如下：3.0000-4.0000-1.00001.0000

 
这里 size(A, 2) 是获取矩阵 A 的列数（即未知数的个数 ）。当系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等且等于未知数个数时，方程组有唯一解；当秩相等但小于未知数个数时，有无穷多解；当秩不相等时，方程组无解 。在你的这个例子中，一般是有唯一解的情况，然后再用左除等方法求解。

-----------------------------

编自2025/8/4和8/5。依旧无言