电力系统分析笔记：发电机与变压器的数学建模与运行状态详解
电力系统分析笔记：发电机与变压器的数学建模与运行状态详解
目录
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一、发电机的数学建模与运行状态
- 1.1 发电机的基本结构与感应原理
- 1.2 发电机的空载电压与电压降
- 1.3 功率角特性与运行极限
- 1.4 四象限运行状态解析
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二、电力系统的稳态与暂态分析
- 2.1 三种发电机数学模型
- 2.2 稳态模型的电压/功率约束条件
- 2.3 暂态模型的意义与构建
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三、变压器数学建模
- 3.1 双绕组变压器的T型与π型模型
- 3.2 参数的实验求取（空载试验、短路试验）
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四、三绕组变压器建模与参数求解
- 4.1 三绕组结构与节点关系
- 4.2 三绕组变压器的试验方法与参数分解
- 4.3 典型模型图示与计算公式
一、发电机的数学建模与运行状态
1.1 发电机的基本结构与感应原理
发电机通过原动机驱动转子旋转，转子携带励磁线圈，切割定子绕组磁力线，形成感应电动势。基本电路模型如图：
Eq=U+jXdI E_q = U + jX_d I Eq=U+jXdI
其中：
- $E_q$：空载电压（感应电动势）
- $U$：机端电压
- $X_d$：同步电抗
- $I$：输出电流
1.2 发电机空载电压与电压降
空载电压 $E_q$ 经电抗 $X_d$ 降压后得到机端电压 $U$，其数学关系如下：
U=Eq−jXdI U = E_q - jX_d I U=Eq−jXdI
此时：
- 电压降 $\Delta U = jX_d I$
- 输出功率 $P$ 与电压、电抗、功角有关
1.3 功率角特性与运行极限
在$P$-$Q$坐标系中，发电机运行极限受以下约束：
- 热极限（电流限制）
- 稳定极限（功角限制）
- 励磁极限（励磁电流能力）
运行极限形成如下“能力圆”图示：
- 圆心：$O$ 点
- 半径：$|E_q|$
- 区域内表示安全运行区
1.4 四象限运行状态解析
| 象限 | 有功 $P$ | 无功 $Q$ | 状态含义 |
|---|---|---|---|
| 第一象限 | $P>0$ | $Q>0$ | 正常发电，感性负载 |
| 第二象限 | $P>0$ | $Q<0$ | 正常发电，容性负载（电压不足） |
| 第三象限 | $P<0$ | $Q<0$ | 电动机状态，吸收功率 |
| 第四象限 | $P<0$ | $Q>0$ | 调相机运行，无功电源 |
二、电力系统的稳态与暂态分析
2.1 三种发电机数学模型
| 模型类型 | 控制量 | 数学表达 | 适用情况 |
|---|---|---|---|
| PV模型 | $P$, $U$ | 功率恒定，电压恒定 | 正常运行 |
| PQ模型 | $P$, $Q$ | 功率恒定 | 负荷节点 |
| Vθ模型 | $U$, $\theta$ | 电压幅值与相角恒定 | 平衡节点/参考点 |
2.2 稳态模型的电压/功率约束条件
稳态条件下：
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电压 $U$ 与频率 $f$ 维持在额定值附近
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所有节点功率平衡满足：
∑P发=∑P负+P损耗 \sum P_{\text{发}} = \sum P_{\text{负}} + P_{\text{损耗}} ∑P发=∑P负+P损耗
2.3 暂态模型的意义与构建
当系统发生短路、跳闸等故障时：
- 电流、电压产生突变
- 需采用暂态模型进行稳定性分析
暂态分析时考虑电感电抗的瞬时变化，构建如下电势方程：
Eq′=U+jXd′I E'_q = U + jX'_d I Eq′=U+jXd′I
其中 $X’_d$ 为暂态电抗。
三、双绕组变压器建模与参数测定
3.1 T型与π型等值电路模型
常用模型为T型模型，由原边阻抗$Z_1$、漏阻抗$Z_m$、副边阻抗$Z_2$组成：
原边 --Z1--+--Zm--+--Z2-- 副边
在分析时，常简化为“套型（π型）”模型，便于节点电压法应用。
3.2 参数的实验求取方法
1）空载试验：
- 副边开路
- 测量输入电压、电流、有功功率
- 计算励磁导纳 $G_0$, $B_0$
2）短路试验：
- 副边短接
- 输入额定电流
- 测量电压、电流、有功功率
- 计算等效阻抗 $R_{\text{eq}}$, $X_{\text{eq}}$
四、三绕组变压器建模与参数计算
4.1 三绕组结构
三绕组变压器包含：
- 高压侧 $H$
- 中压侧 $M$
- 低压侧 $L$
结构示意图：
H|--+--| |
M L
4.2 参数的试验方法
分别对三对绕组组合进行短路试验：
- HM：短接 M，电源接 H
- HL：短接 L，电源接 H
- ML：短接 L，电源接 M
分别测得：
- 短路损耗 $P_{xy}$
- 电压降百分比 $U_{xy}$
4.3 三绕组参数计算公式
设 $Z_{HM}$, $Z_{HL}$, $Z_{ML}$ 为试验所得阻抗，则三绕组各侧阻抗：
ZH=12(ZHM+ZHL−ZML)ZM=12(ZHM+ZML−ZHL)ZL=12(ZHL+ZML−ZHM) Z_H = \frac{1}{2}(Z_{HM} + Z_{HL} - Z_{ML}) \\ Z_M = \frac{1}{2}(Z_{HM} + Z_{ML} - Z_{HL}) \\ Z_L = \frac{1}{2}(Z_{HL} + Z_{ML} - Z_{HM}) ZH=21(ZHM+ZHL−ZML)ZM=21(ZHM+ZML−ZHL)ZL=21(ZHL+ZML−ZHM)
总结
本笔记系统梳理了发电机与变压器在电力系统中的数学建模方法和运行状态分析要点。通过掌握其运行原理与建模方式，不仅有助于提升对电力系统运行的理解，也为后续的潮流计算、暂态分析与系统调度打下坚实基础。