算法训练营DAY46 第九章 动态规划part13

647. 回文子串

647. 回文子串 - 力扣（LeetCode）

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入：s = "aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

动态规划思路

1、确定dp数组及下标含义

如果定义dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，会发现很难找到递归关系。

dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。

经过分析能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串下标范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下标范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。

dp数组是要定义成布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2、确定递推公式

如果s[i]不等于s[j]那么就false

如果s[i]等于s[j]，那就有几种情况需要考虑

一是i=j；二是j-i=1

三是i、j相隔较远，需要借助dp[i+1][j-1]来判断

3、初始化

可以整个数组初始化为false

4、确定遍历顺序

分析递推公式，发现是从左下角往右上角推导，所以遍历顺序为从下到上，从左到右

5、举例推导

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

class Solution {
public:int countSubstrings(string s) {vector<vector<bool>> dp(s.size(),vector<bool>(s.size(),false));int res=0;for(int i=s.size()-1;i>=0;i--){for(int j=i;j<s.size();j++){if(s[i]==s[j]){if(j-i<=1){res++;dp[i][j]=true;}else if(dp[i+1][j-1]){res++;dp[i][j]=true;}}}}return res;}
};

 516.最长回文子序列

516. 最长回文子序列 - 力扣（LeetCode）

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。

动态规划思路分析

1、确定dp数组及下标含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2、确定递推公式

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如果s[i]与s[j]不相同，那么就有几种情况需要考虑，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

3、初始化

分析递推公式，

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

4、确定遍历顺序

从下往上，从左往右

5、举例推导

输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：

class Solution {
public:int longestPalindromeSubseq(string s) {vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j]) {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;} else {dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[0][s.size() - 1];}
};