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数学建模——最大最小化模型

news 2025/8/1 22:49:32

1.概念

最大最小化模型（Maximin Model）是一种优化方法，旨在最大化最坏情况下的收益或最小化最坏情况下的损失。

常见的现实问题有：

求最大值的最小化问题

最大风险的最低限度

最小化最坏情况下的损失等

$\underset{x}{min}\left \{ max[f_1(x)],max[f_2(x)] ,...,max[f_m(x)]\right \}$ (找最大值里面最小的)

$s.t.\left\{\begin{matrix} Ax\leq b \\ Aeq\cdot x=beq \\ C(x)\leq 0 \\ Ceq(x)=0 \\ VLB\leq X\leq VUB \end{matrix}\right.$

建立模型：

$\underset{(x,y)}{min}\left \{ \underset{i}{max}[|x-a_i|+|y-b_i|] \right \}$

$s.t.\left\{\begin{matrix} 4\leq x \leq 16 \\ 3\leq y \leq 11 \end{matrix}\right.$

函数套用:

fminimax
fun	把目标函数定义成一个单独的函数文件（min）
x0	决策变量的初始值
A,b	线性约束不等式变量系数矩阵和常数项矩阵（左侧系数和右侧向量，支持 $\leq or<$ ）
Aeq,beq	线性约束等式变量系数矩阵和常数项矩阵（左侧系数和右侧向量）
lb,ub	决策变量的最小与最大取值（变量上下界）
nonlcon	非线性约束（包括不等式与等式）
option	求解非线性规划使用的方法

注意：fminimax函数与非线性规划的函数用法基本上一样，但是目标函数需要用函数向量表示如：

$function \; f=fun(x)$

$f=zero(m,1)$

$f(1)=\cdots$

$f(2)=\cdots$

$\vdots$

$f(m)=\cdots$

代码：

%最大最小值问题
x0=[6,6];
lb=[4,3];
ub=[16,11];
[x,fval]=fminimax(@minimaxFun,x0,[],[],[],[],lb,ub);
max(fval)
x

function f=minimaxFun(x)a=[2 5 7 9 11 12 15 18];b=[3 8 12 5 9 2 7 4];f=zeros(8,1);for i= 1:8f(i)=abs(x(1)-a(i))+abs(x(2)-b(i));end
end

解释一下函数代码：

1  function f = fun(x)

定义一个名为 fun 的函数，输入参数是 2×1 向量 x，输出是 8×1 向量 f
x(1) 代表供应中心的横坐标，x(2) 代表纵坐标。

2      a = [ 1  4  3  5  9 12  6 20 17  8];

3      b = [ 2 10  8 18  1  4  5 10  8  9];

4      f = zeros(10,1);

5      for i = 1:10
6          f(i) = abs(x(1) - a(i)) + abs(x(2) - b(i));
7      end

循环 8 次，依次计算当前供应中心 (x(1), x(2)) 到第 i 个需求点的直角距离
公式：|x − aᵢ| + |y − bᵢ|
结果写入 f(i)。
该函数把 二维决策变量 (x,y) 映射到 8 个目标函数
fminimax 会把这 8 个数中的最大值作为要最小化的“最坏情况”目标，从而完成
min_(x,y) max_i |x−aᵢ| + |y−bᵢ|
的求解。
这里其实就是完成了8个函数向量