博弈论03——混合纳什均衡的收益求法

性别之战——回顾

背景：
Alice 和 Bob 这两位玩家是朋友，他们想见面喝杯咖啡。Alice 喜欢去 Costa，Bob 更喜欢去星巴克，但最重要的是，对他们来说最重要的是去同一个地方，这样他们才能真正见面。

存在纯纳什均衡

Best response 法

得到两个纯纳什均衡。

存在混合纳什均衡

对于Alice：

$$\begin{array}{rl}{\text{EU}}_{BC}& ={\text{EU}}_{BS}\\ {\sigma }_{AC}(1)+(1-{\sigma }_{AC})(0)& ={\sigma }_{AC}(0)+(1-{\sigma }_{AC})(3)\\ {\sigma }_{AC}& =3-3{\sigma }_{AC}\\ 4{\sigma }_{AC}& =3\\ {\sigma }_{AC}& =\frac{3}{4}\end{array}$$
Alice的混合策略是（3/4 ，1/4）

对于Bob：

$$\begin{array}{rl}{\text{EU}}_{AC}& ={\text{EU}}_{AS}\\ {\sigma }_{BC}(3)+(1-{\sigma }_{BC})(0)& ={\sigma }_{BC}(0)+(1-{\sigma }_{BC})(1)\\ 3{\sigma }_{BC}& =1-{\sigma }_{BC}\\ 4{\sigma }_{BC}& =1\\ {\sigma }_{BC}& =\frac{1}{4}\end{array}$$
Bob的混合策略是（1/4 ，3/4）

总结

混合策略的求法：设定自己的概率，让对方无差别，用对方的payoff×自己的概率，并相等。

一个博弈是否可以同时存在纯纳什均衡和混合纳什均衡？
是的，可以同时存在。
许多博弈（如“性别之战”）既有纯策略纳什均衡，也有混合策略纳什均衡。

一个博弈是否一定存在至少一种纳什均衡？
是的，每个有限博弈（有限个玩家 + 有限个策略）根据纳什定理（Nash’s Theorem），至少存在一个纳什均衡（可能是纯的，也可能是混合的）

payoffs收益求法

计算方法：

1. 求出每个玩家的混合纳什策略概率；
2. 相乘，求出每个事件发生的概率；
3. 每个事件发生的概率乘以这个事件发生对这个玩家的payoff影响。相加求和。

性别之战

相乘，求事件概率

对于玩家1,

$Payof{f}_1=1\ast 2/9+0\ast 1/9+0\ast 4/9+2\ast 2/9=5/9$

对于玩家2，

$Payof{f}_2=2\ast 2/9+0\ast 1/9+0\ast 4/9+1\ast 2/9=2/3$