TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution ）简介与简单示例

前言

提醒：
文章内容为方便作者自己后日复习与查阅而进行的书写与发布，其中引用内容都会使用链接表明出处（如有侵权问题，请及时联系）。
其中内容多为一次书写，缺少检查与订正，如有问题或其他拓展及意见建议，欢迎评论区讨论交流。

内容由AI辅助生成，仅经笔者审核整理，请甄别食用。

---

TOPSIS方法：多准则决策的几何解析

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution ）由Yoon和Hwang于1981年提出，是经典多准则决策（MCDM）方法。其核心逻辑是：将决策问题映射到$n$维空间（$n$为准则数量 ），通过计算方案与“正理想解”“负理想解”的距离，筛选最接近正理想解、最远离负理想解的方案，实现复杂决策的量化排序。

一、核心步骤与公式（附变量解释）

1. 输入定义

• 决策矩阵：设方案数为$m$、准则数为$n$，原始矩阵记为$\mathbf{X}=(x_{ij}{)}_{m\times n}$。其中$x_{ij}$表示第$i$个方案在第$j$个准则下的原始值（如“方案1的成本值” ）。
• 准则权重：记为$\mathbf{W}=(w_1,w_2,\dots ,w_n)$，满足${\sum }_{j=1}^n{w}_j=1$。$w_j$表示第$j$个准则的重要性（如“成本准则权重0.3，说明成本占30%决策权重” ）。

2. 步骤1：归一化决策矩阵（消除量纲）

通过向量归一化统一量纲，公式：
$${\bar{x}}_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}^2}}$$

• 变量：${\bar{x}}_{ij}$是第$i$个方案在第$j$个准则下的归一化值，输出区间$[0,1]$，解决不同准则单位差异问题（如“成本（元）”与“效率（件/时）”无法直接比较 ）。

3. 步骤2：加权归一化（融合准则权重）

结合准则权重调整归一化值，公式：
$$V_{ij}={\bar{x}}_{ij}\times w_j$$

• 变量：$V_{ij}$是第$i$个方案在第$j$个准则下的加权归一化值，体现“准则重要性对方案表现的放大/缩小”（如“高权重准则的方案值，对决策结果影响更强” ）。

4. 步骤3：确定理想解（正/负）

• 正理想解$A^{+}$：各准则的最优值，公式：
  $$A_j^{+}=\{\begin{array}{ll}{\max }_i{V}_{ij}& \text{（准则 }j\text{ 为最大化目标，如“利润”）}\\ {\min }_i{V}_{ij}& \text{（准则 }j\text{ 为最小化目标，如“成本”）}\end{array}$$

  • 变量：$A_j^{+}$是第$j$个准则下的“最优表现”（如“所有方案中成本最低值” ）。

• 负理想解$A^{-}$：各准则的最劣值，与正理想解相反，公式：
  $$A_j^{-}=\{\begin{array}{ll}{\min }_i{V}_{ij}& \text{（准则 }j\text{ 为最大化目标）}\\ {\max }_i{V}_{ij}& \text{（准则 }j\text{ 为最小化目标）}\end{array}$$

  • 变量：$A_j^{-}$是第$j$个准则下的“最劣表现”（如“所有方案中成本最高值” ）。

5. 步骤4：计算距离（理想解的远近）

• 到正理想解的距离$d_i^{+}$：
  $$d_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^n(V_{ij}-A_j^{+}{)}^2}$$

  • 变量：$d_i^{+}$是第$i$个方案到正理想解的欧氏距离，距离越大，方案离“最优表现”越远。

• 到负理想解的距离$d_i^{-}$：
  $$d_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^n(V_{ij}-A_j^{-}{)}^2}$$

  • 变量：$d_i^{-}$是第$i$个方案到负理想解的欧氏距离，距离越大，方案离“最劣表现”越远。

6. 步骤5：计算贴近度（方案优劣排序）

贴近度反映方案与正理想解的相对接近程度，公式：
$$C_i=\frac{d_i^{-}}{d_i^{+}+d_i^{-}}$$

• 变量：$C_i\in [0,1]$，值越大表示第$i$个方案越接近正理想解、越远离负理想解，方案越优。最终按$C_i$降序排序，确定方案优先级。

二、关键特点与优势

1. 几何直观性：将决策映射到$n$维空间，用“距离理想解的远近”排序，逻辑清晰（如二维场景可类比平面上点与“最优/最劣点”的距离比较 ）。
2. 混合准则支持：兼容最大化、最小化目标（仅需在确定$A^{+}$、$A^{-}$时区分准则类型 ），覆盖“利润最大化+成本最小化”等复杂场景。
3. 计算简洁性：基于欧氏距离和加权归一化，流程明确，手工或编程均可快速实现。

三、示例解析（简化场景：2方案×2准则）

假设场景：2个方案（桂林、黄山 ）、2个准则（景色：最大化，权重0.6；费用：最小化，权重0.4 ），原始矩阵$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{cc}9& 7\\ 8& 6\end{array}\right]$（桂林：景色9、费用7；黄山：景色8、费用6 ）。

1. 归一化（消除量纲）

$$\begin{gathered} {\bar{x}}_{11}=\frac{9}{\sqrt{9^2+8^2}}\approx 0.676,{\bar{x}}_{12}=\frac{7}{\sqrt{7^2+6^2}}\approx 0.714 \\ {\bar{x}}_{21}=\frac{8}{\sqrt{9^2+8^2}}\approx 0.606,{\bar{x}}_{22}=\frac{6}{\sqrt{7^2+6^2}}\approx 0.618 \end{gathered}$$

2. 加权归一化（融合权重）

$$\begin{gathered} V_{11}=0.676\times 0.6\approx 0.406,V_{12}=0.714\times 0.4\approx 0.286 \\ {V}_{21}=0.606\times 0.6\approx 0.364,V_{22}=0.618\times 0.4\approx 0.247 \end{gathered}$$

3. 确定理想解

• 景色（最大化）：$A_1^{+}=0.406$（桂林）、$A_1^{-}=0.364$（黄山）
• 费用（最小化）：$A_2^{+}=0.247$（黄山）、$A_2^{-}=0.286$（桂林）

4. 计算距离与贴近度

• 桂林：$d_1^{+}\approx 0.039$（到正理想解距离）、$d_1^{-}\approx 0.042$（到负理想解距离），$C_1\approx 0.518$
• 黄山：$d_2^{+}\approx 0.042$（到正理想解距离）、$d_2^{-}\approx 0.039$（到负理想解距离），$C_2\approx 0.482$

5. 排序结论

因$C_1>C_2$，桂林更接近正理想解，为更优方案。

四、方法对比与适用场景

方法	核心逻辑	适用场景	局限性
TOPSIS	距离理想解的相对接近度	数据分布均匀、混合准则场景	对异常值敏感
VIKOR	妥协解（平衡群体效用与遗憾）	需多方协商的复杂决策	计算稍复杂
AHP	成对比较确定权重	权重确定阶段	主观依赖强
COPRAS	区分准则类型的相对显著性	成本敏感型决策	最小化准则影响突出

五、总结

TOPSIS 以几何直观性、混合准则兼容性、计算简洁性为核心优势，适合工程评估、项目优选等场景。其本质是将定性决策转化为“距离比较”的定量问题，通过$C_i$实现方案排序。需注意：若数据存在异常值（如极端大/小值 ），需预处理（如离群值修正 ），否则可能影响结果可靠性。

简单示例

下面是一个使用TOPSIS优化方法的MATLAB实现，包含完整计算流程和可视化功能。这个示例解决了一个经典的"供应商选择"问题，通过TOPSIS方法在多个准则下对备选方案进行排序和选择。

%% TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）优化方法示例
clear; clc; close all;%% 1. 定义问题数据
% 备选方案（供应商）
alternatives = {'供应商A', '供应商B', '供应商C', '供应商D', '供应商E'};
num_alternatives = length(alternatives);% 评价准则
criteria = {'价格', '质量', '交货期', '服务水平', '环保性'};
num_criteria = length(criteria);% 准则权重（可通过AHP等方法确定）
weights = [0.25, 0.20, 0.15, 0.20, 0.20];% 决策矩阵（方案在各准则下的表现）
% 注："价格"为最小化准则，其余为最大化准则
decision_matrix = [80, 7, 9, 8, 7;    % 供应商A90, 8, 7, 9, 8;    % 供应商B70, 9, 6, 7, 9;    % 供应商C60, 6, 8, 6, 6;    % 供应商D85, 7, 10, 8, 8;   % 供应商E
];% 标记准则类型（1=最大化，0=最小化）
criteria_type = [0, 1, 1, 1, 1];%% 2. TOPSIS计算流程
% 步骤1：归一化决策矩阵（向量归一化）
normalized_matrix = zeros(size(decision_matrix));
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化准则normalized_matrix(:,j) = decision_matrix(:,j) / norm(decision_matrix(:,j));else  % 最小化准则normalized_matrix(:,j) = min(decision_matrix(:,j)) ./ decision_matrix(:,j);normalized_matrix(:,j) = normalized_matrix(:,j) / norm(normalized_matrix(:,j));end
end% 步骤2：加权归一化矩阵
weighted_matrix = normalized_matrix .* repmat(weights, num_alternatives, 1);% 步骤3：确定正理想解和负理想解
positive_ideal = zeros(1, num_criteria);
negative_ideal = zeros(1, num_criteria);
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化准则positive_ideal(j) = max(weighted_matrix(:,j));negative_ideal(j) = min(weighted_matrix(:,j));else  % 最小化准则positive_ideal(j) = min(weighted_matrix(:,j));negative_ideal(j) = max(weighted_matrix(:,j));end
end% 步骤4：计算到正理想解和负理想解的距离
d_plus = zeros(num_alternatives, 1);
d_minus = zeros(num_alternatives, 1);
for i = 1:num_alternativesd_plus(i) = norm(weighted_matrix(i,:) - positive_ideal);d_minus(i) = norm(weighted_matrix(i,:) - negative_ideal);
end% 步骤5：计算相对贴近度
relative_closeness = d_minus ./ (d_plus + d_minus);% 步骤6：排序
[closeness_sorted, sort_idx] = sort(relative_closeness, 'descend');%% 3. 可视化结果
% 3.1 决策矩阵热图
figure('Position', [100, 100, 1000, 800]);
subplot(2, 2, 1);
imagesc(decision_matrix);
title('原始决策矩阵');
xlabel('准则');
ylabel('方案');
set(gca, 'XTick', 1:num_criteria, 'XTickLabel', criteria);
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives);
colorbar;
for i = 1:num_alternativesfor j = 1:num_criteriatext(j, i, num2str(decision_matrix(i,j)), 'HorizontalAlignment', 'center', 'FontSize', 10);end
end% 3.2 准则权重饼图
subplot(2, 2, 2);
pie(weights, criteria);
title('准则权重分布');% 3.3 距离和贴近度对比图
subplot(2, 2, 3);
bar_width = 0.25;
x = 1:num_alternatives;
bar(x - bar_width, d_plus, bar_width, 'r', 'DisplayName', '到正理想解的距离');
hold on;
bar(x, d_minus, bar_width, 'g', 'DisplayName', '到负理想解的距离');
bar(x + bar_width, relative_closeness, bar_width, 'b', 'DisplayName', '相对贴近度');
hold off;
title('距离和贴近度对比');
xlabel('方案');
ylabel('值');
set(gca, 'XTick', 1:num_alternatives, 'XTickLabel', alternatives);
legend;
grid on;% 3.4 TOPSIS排序结果
subplot(2, 2, 4);
barh(1:num_alternatives, closeness_sorted);
title('TOPSIS排序结果');
xlabel('相对贴近度 (越大越好)');
ylabel('方案 (按排名)');
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives(sort_idx));
grid on;% 添加标签显示具体贴近度值
for i = 1:num_alternativestext(closeness_sorted(i)+0.01, i, sprintf('%.4f', closeness_sorted(i)), 'HorizontalAlignment', 'left', 'VerticalAlignment', 'middle');
end%% 4. 输出结果
fprintf('\n===== TOPSIS优化结果汇总 =====\n');
fprintf('\n1. 准则权重:\n');
for i = 1:num_criteriafprintf('   %s: %.2f\n', criteria{i}, weights(i));
endfprintf('\n2. 各方案评估结果:\n');
fprintf('   方案\t\t正理想解距离\t负理想解距离\t相对贴近度\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   %s\t%.4f\t\t%.4f\t\t%.4f\n', alternatives{i}, d_plus(i), d_minus(i), relative_closeness(i));
endfprintf('\n3. TOPSIS推荐排序:\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   第%d名: %s (贴近度: %.4f)\n', i, alternatives{sort_idx(i)}, closeness_sorted(i));
end

代码说明：

1. 问题定义：

   • 5个备选方案（供应商A-E）
   • 5个评价准则：价格、质量、交货期、服务水平、环保性
   • 准则权重：通过专家判断或AHP方法预先确定
   • 准则类型："价格"为最小化准则，其余为最大化准则

2. TOPSIS计算流程：

   • 归一化处理：针对不同类型准则采用不同归一化方法
   • 加权处理：结合准则权重调整归一化后的决策矩阵
   • 确定理想解：分别计算正理想解和负理想解
   • 计算距离：计算各方案到正理想解和负理想解的欧氏距离
   • 计算相对贴近度：综合距离指标得到最终评分
   • 排序：按相对贴近度降序排列

3. 可视化功能：

   • 决策矩阵热图：直观展示原始数据
   • 准则权重饼图：显示各准则重要性分布
   • 距离和贴近度对比图：横向比较各方案在不同指标下的表现
   • TOPSIS排序结果：按相对贴近度从高到低展示

4. 结果输出：

   • 详细列出各方案的距离指标和相对贴近度
   • 给出推荐排序结果

运行结果