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秩为1的矩阵的特征和性质

news 2025/7/29 6:48:45

秩为1的矩阵即 $r (A) = 1$ 的矩阵，

当然，严格来讲，秩一矩阵不一定非要是方阵，例如下面这一个矩阵：

$A=[123246]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$
其并不是一个方阵，化简后
$A=[123000]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ 只有一个线性无关的向量，因此秩为1。

但是，在考研和日常应用中需要讨论秩一矩阵的迹、特征值这些性质，因此基本上秩一矩阵默认都是方阵。

秩一矩阵有一些有常用的性质，介绍如下：

性质1：秩一矩阵的行列成比例

这也可以说是一个特征。行列成比例则可以化简为只有一个线性无关的向量的最简形式，从而得出矩阵的秩为1

性质2： $r(A)=1⇔A=αβTr(A)=1\Leftrightarrow A=\alpha \beta^T$ ，即秩一矩阵A可以化为两个一维向量相乘的形式
秩一矩阵可以化为一列向量乘一行向量的形式, 从线性代数的几何性质来理解就是即秩一矩阵A的列空间是一维的，两个一维向量分别是列空间和行空间的基。从数值方面来理解秩为一的矩阵任何一行(列)向量都是某行(列)向量的 $k1,k2,k3⋯k_1,k_2,k_3 \cdots$ 倍，矩阵要实现这种效果就是使用矩阵乘法，也就是列向量乘行向量

例如：
$A=[1232464812]=[124]⋅[123]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 4 & 8 & 12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}$

性质3： $tr(A)=βTαtr(A)=\beta^T \alpha$ 即 $A$ 的迹等于两个向量的内积
$A$ 的迹 $t r (A)$ 即为矩阵的对角线元素相加

举一个三阶矩阵的例子来证明：
$tr(\alpha\beta^T)= tr(\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1& \beta_2 &\beta_3 \end{pmatrix}) \\ =\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2 +\alpha_3\beta_3 = \alpha^T \beta=\beta^T\alpha$

这一个性质经常和性质2结合来处理秩一矩阵的的高次方。
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为1 ，则 $A=αβT，tr(A)=βTαA=\alpha \beta^T，tr(A)=\beta^T \alpha$
$An=(αβT)n=αβTαβTαβT⋯αβTαβT=α[tr(A)]n−1βT=[tr(A)]n−1αβT=[tr(A)]n−1AA^n=(\alpha \beta^T)^n=\alpha \beta^T\alpha \beta^T\alpha \beta^T \cdots \alpha \beta^T\alpha \beta^T \\[15pt]=\alpha[tr(A)]^{n-1} \beta^T=[tr(A)]^{n-1} \alpha\beta^T=[tr(A)]^{n-1} A$

性质4： $n$ 阶秩一矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值是1个 $t r (A)$ 和 $n - 1$ 个 0

证明：
法1（方程组法）

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为1 ,则 $A x = 0$ 的基础解系含 $n - 1$ 个线性无关解向量，由于 $\cdot x$ ，所以这 $n - 1$ 个线性无关的解向量都是属于特征值0的特征向量，因此0至少是 $A$ 的 $n - 1$ 重特征值。

设 $λ1=λ2=⋯λn−1=0\lambda _1=\lambda _2=\cdots \lambda _{n-1}=0$ ，则由特征值的性质特征值之和等于矩阵的迹，即 $λ1+λ2+⋯λn−1+λn=∑i=1naii\lambda _1+\lambda _2+\cdots \lambda _{n-1}+\lambda _n=\sum_{i=1}^n{a_{ii}}$ 得： $λn=∑i=1naii=tr(A)\lambda _n=\sum_{i=1}^n{a_{ii}}=tr(A)$ 。

所以当矩阵的迹 $t r (A) = 0$ 时，0就是矩阵的 $n$ 重特征值，当矩阵的迹 $\ne 0$ 时，0就是矩阵的 $n - 1$ 重特征值

法2（特征方程法）

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为1 ，则 $A$ 的列向量组的秩为 1，不妨设 $A$ 的第一列为 $,an)T≠0(a1≠0)\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T} \neq 0 \quad\left(a_{1} \neq 0\right)$ ，则其它列均可由 $α\alpha$ 线性表示，于是矩阵可表示为 $,bnα)=αβTA=\left(b_{1} \alpha, b_{2} \alpha, \cdots, b_{n} \alpha\right)=\alpha \beta^{T}$ ，其中 $,bn)Tb_{1}=1, \quad \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}$

$∣λE−A∣=∣λ−a1b1−a1b2⋯−a1bn−a2b1λ−a2b2⋯−a2bn⋮⋮⋮−anb1−anb2⋯λ−anbn∣=∣λ−a1b1−a1b2⋯−a1bn−a2a1λλ⋯0⋮⋮⋮−ana1λ0⋯λ∣=λ−∑i=1naibi−a1b2⋯−a1bn0λ⋯0⋮⋮⋮00⋯λ=λn−1(λ−∑i=1naibi)|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda-a_{1} b_{1} & -a_{1} b_{2} & \cdots & -a_{1} b_{n} \\ -a_{2} b_{1} & \lambda-a_{2} b_{2} & \cdots & -a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n} b_{1} & -a_{n} b_{2} & \cdots & \lambda-a_{n} b_{n}\end{array}\right| \\[24pt] \\ =\left|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{1} b_{1} & -a_{1} b_{2} & \cdots & -a_{1} b_{n} \\ -\frac{a_{2}}{a_{1}} \lambda & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -\frac{a_{n}}{a_{1}} \lambda & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right| \\[24pt] =\begin{array}{|cccc|} \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} & -a_{1} b_{2} & \cdots & -a_{1} b_{n} \\ 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array} \\[24pt] =\lambda^{n-1}\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)$

性质5： $α\alpha$ 是矩阵 $A$ 的 $t r (A)$ 特征值对应的特征向量。

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为1 ，则 $A$ 可表示为
$A=αβT=[a1a2⋯an]⋅[b1b2⋯b3]=[a1b1a1b2⋯a1bna2b1a2b2⋯a2bn⋮⋮⋮anb1anb2⋯anbn]A=\alpha \beta^T=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_3 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n\\ a_2b_1& a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_nb_1 & a_nb_2& \cdots & a_nb_n \end{bmatrix}$ ，

首先求特征值0对应的特征向量，有：
$(0 E - A) X = 0$
即
$A X = 0$
解这一方程组，由于 $A$ 为秩一矩阵，可将 $A$ 化为最简的形式：
$[b1b2⋯bn00⋯0⋮⋮⋮00⋯0]\begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n\\ 0& 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0& \cdots & 0 \end{bmatrix}$
则特征值0对应有 $n - 1$ 个线性无关的特征向量，分别为:
$,1]T\xi_1=[-\frac{b_2}{b_1},1,0,\cdots,0]^T\\\xi_2=[-\frac{b_3}{b_1},0,1,\cdots,0]^T\\\cdots\\\xi_{n-1}=[-\frac{b_n}{b_1},0,0,\cdots,1]^T$
则特征值0对应的特征向量为： $k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−1ξn−1k_1\xi_1+k_2\xi_2+ \cdots+k_{n-1}\xi_{n-1}$ ,其中 $,kn−1k_1,k_2, \cdots,k_{n-1}$ 均为任意常数。

接下来再求特征值为 $t r (A)$ 时对应的特征向量。由之前讲到的性质可以推出：
$Aα=αβTα=tr(A)αA\alpha=\alpha \beta^T\alpha=tr(A)\alpha$
所以 $t r (A)$ 特征值对应的特征向量就是 $α\alpha$

性质6： $t r (A) = 0$ 时，矩阵不能相似对角化，当 $tr(A)≠0tr(A)\ne 0$ 时，可以相似对角化。

首先先介绍几个线性代数中的名词和定理：

矩阵可相似对角化的充要条件是 $n$ 阶矩阵有 $n$ 个线性无关的特征向量。
特征根的代数重数：某一特征值对应特征方程的解向量的重数，即求解特征方程 $∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0$ 重复特征值的重数
特征根的几何重数：即同一个特征值对应线性无关的特征向量个数，计算方法为 $n−r(λE−A)n-r(\lambda E-A)$ ,而有 $n$ 个线性无关的特征向量，则这些特征向量就可以最多可生成 $n$ 维空间.可以以坐标轴为例理解，两条线最多可以生成一个二维平面，三条线最多可以组成一个立体三维空间。
特征根的几何重数≤代数重数，其对应的就是在学习线性代数时一个结论： $n$ 重特征值最多有 $n$ 个线性无关的特征向量。

当 $t r (A) = 0$ 时，则特征值0对应的线性方程组 $A x = 0$ 的线性无关解的个数等于 $n - r (A)$ ,即 $n - 1$ , $n$ 阶矩阵只有 $n - 1$ 个线性无关的特征向量，因此不可以对角化；

当 $tr(A)≠0tr(A)\ne0$ 时，上面说过有 $n - 1$ 重特征值0和一重特征值 $t r (A)$ . $n - 1$ 重特征值0对应有 $n - 1$ 个线性无关的解，也就是 $n - 1$ 个线性无关的特征向量，而特征值 $t r (A)$ 对应也有一个特征向量，而不同特征值对应的特征向量线性无关，所以矩阵有 $n$ 个线性无关的特征向量，可对角化。