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数学建模——模糊综合评价

news 2025/7/28 10:30:28

1.概念

1.1模糊数学

模糊数学（Fuzzy Mathematics） 是由美国控制论专家 扎德（L. A. Zadeh） 于1965年提出的一套处理 模糊性（不精确性） 的数学理论。它扩展了传统集合论（经典集合）的“非此即彼”的二值逻辑，允许元素以 隶属度（Membership Degree） 的形式部分属于某个集合，从而更贴近人类思维和现实世界的复杂性。

很多概念在生活中并不是确定的，比如身高的高还是低，成绩好还是坏，这就是模糊性概念

经典集合

模糊集合

特点

非此即彼

可以亦此亦彼

举例

比如成绩及格线是60，那么分数比60低就是不及格，

不存在一个分数即及格又不及格

隶属函数： $\mu _{A}:X\rightarrow \left [ 0,1 \right ]$

确定X上的一个模糊集合A， $\mu _{A}$ 叫做A的隶属函数

$\mu _{A}\left ( x \right )$ 叫做x对模糊集A的隶属度

记作 $A=\left \{ \left ( x,\mu _{A}\left ( x \right ) \right ) |x\in X \right \}$

其中隶属度0.5最具有模糊性，隶属度就是元素属于某个模糊集合的程度

隶属函数不唯一

模糊集合表示方式

表示法
zadeh记号法	$A = \sum_{i=1}^{n} \frac{\mu_A(x_{i})}{x_{i}}$ , $A= \int _{x\in X}\frac{\mu _{A}\left ( x \right )}{x}$ *注：积分/求和符号仅为记号，无实际运算意义。*
序偶表示法	$A = \left \{ \left ( x_{1},\mu _{A}\left (x_{1} \right ) \right ),\left ( x_{2},\mu _{A}\left (x_{2} \right ) \right ),...,\left ( x_{n},\mu _{A}\left (x_{n} \right ) \right ) \right \}$
向量表示法	$A=\left ( \mu _{A}\left (x_{1} \right ),\mu _{A}\left (x_{2} \right ),...,\mu _{A}\left (x_{n} \right )\right )$

模糊集合分类

偏小型	比如年轻就是偏小型，岁数越小隶属度越大
中间型	比如中年就是中间型，岁数在中间某个范围内隶属度越大
偏大型	比如年老就是偏大型，岁数越大隶属度越大

隶属函数的确定方法

模糊统计法	发问卷，找多个人对同一个模糊概念描述，用隶属频率定义隶属度，符合实际但耗时
借助客观尺度	用已有的指标作为元素的隶属度
指派法	直接根据分类指派一个隶属函数，主观但是常用(矩阵，梯形，k次抛物线，Γ型，正态型，柯西型等)

看起来比较复杂，但是说白了就是计算一个隶属度，用原始值套隶属函数

1.2评价问题概述

在模糊综合评价中有三个集合

因素集 U={u1,u2,...,un}
评价集 V={v1,v2,...,vn}
权重集 A={a1,a2,...,an}

就是要把论域中的对象对应评语集合里面的一条评语

就是算隶属度，看评价中谁的隶属度最高，最高的就是这个因素的评语

1.3*一级模糊综合评价模型

1.构建因素集与评语集

因素集（U）：包含所有评价指标，例如 $( U = {u_1, u_2, \dots, u_n} )$ 。如学生的各科成绩
评语集（V）：定义评价等级，例如 $( V = {v_1, v_2, \dots, v_m} )$ ，如 {优, 良, 中, 差}。

2.确定权重向量

权重向量 $( A = (a_1, a_2, \dots, a_n) )$ 反映各指标的相对重要性，需满足 ( $\sum_{i=1}^n a_i = 1$ )。权重可通过层次分析法（AHP）或熵权法确定。

3.建立隶属度矩阵(模糊综合判断矩阵)

对每个指标 $( u_i )$ ，通过专家打分或数据统计代公式得到其隶属于各评语的隶属度，形成矩阵 $( R )$ ：

其中 $( r_{ij} )$ 表示指标 $( u_i )$ 对评语 $( v_j )$ 的隶属度，满足 $( \sum_{j=1}^m r_{ij} = 1 )$ 。

4.模糊合成运算

采用加权平均型算子（常用模型）计算综合评价结果 ( B )：
$[ B = A \circ R = (b_1, b_2, \dots, b_m) ]$
其中 $( b_j = \min\left(1, \sum_{i=1}^n a_i r_{ij}\right) )$ 。（太复杂了一般就是矩阵乘法运算 $B = A \circ R =A\cdot R$ ）