【高等数学】第五章 定积分——第一节 定积分的概念与性质

上一节：【高等数学】第四章 不定积分——第五节 积分表的使用
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1. 定积分问题举例

• 曲边梯形的面积
  • 曲边梯形
    设 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上非负、连续
    由直线 $x=a$、$x=b$、$y=0$ 及曲线 $y=f(x)$ 所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。
  • 求解曲边梯形的面积
    在区间 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$
    将$[a,b]$分成$n$个小区间，区间长度分别为$\Delta x_1,\Delta x_2,\dots ,\Delta x_n$
    记λ=max⁡{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n\}λ=max{Δx1​,Δx2​,⋯,Δxn​}，任取${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$，曲边梯形的面积$$A=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
• 变速直线运动的路程
  记λ=max⁡{Δt1,Δt2,⋯,Δtn}\lambda = \max\{\Delta t_1, \Delta t_2, \cdots, \Delta t_n\}λ=max{Δt1​,Δt2​,⋯,Δtn​}，任取${\tau }_i\in [t_{i-1},t_i]$，变速直线运动的路程为：
  $$s=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}v({\tau }_i)\Delta t_i$$

2. 定积分的定义

• 定积分的定义
  设函数$f(x)$在$[a,b]$上有界，在$[a,b]$中任意插入若干个分点
  $$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$
  把区间$[a,b]$分成$n$个小区间
  $$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots ,[x_{n-1},x_n]$$
  各个小区间的长度依次为
  $$\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots ,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}$$
  在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上任取一点${\xi }_i(x_{i-1}⩽{\xi }_i⩽x_i)$，作函数值$f({\xi }_i)$与小区间长度 $\Delta x_i$ 的乘积 $f({\xi }_i)\Delta x_i(i=1,2,\cdots ,n)$，并作出和（称为积分和）
  $$S=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
  记 λ=max⁡{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n\}λ=max{Δx1​,Δx2​,⋯,Δxn​}，如果当 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在（即$f(x)$在闭区间$[a,b]$可积），且与闭区间 $[a,b]$ 的分法及点 ${\xi }_i$ 的取法无关，那么称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分（简称积分），记作 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$，即
  $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=I=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
  其中 $f(x)$ 叫做被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$ 叫做被积表达式，$x$ 叫做积分变量，$a$ 叫做积分下限，$b$ 叫做积分上限，$[a,b]$ 叫做积分区间。
• 定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关
  $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{b}f(u)\mathrm{d}u$$
• 定积分可积的充分条件
  • 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积
  • 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积
• 定积分的几何意义
  • 当曲边梯形位于$x$轴下方时，定积分表示该曲边梯形面积的负值
  • 如果函数$f(x)$既有落在$x$轴上方的部分，又有落在$x$轴下方的部分，则定积分表示$f(x)$在$x$轴上方的面积减去$f(x)$在$x$轴下方的面积

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