证明在赋范线性空间中，如果一个闭子空间内的点列弱收敛于空间中的一个点，那么这个点也必然属于该闭子空间

设$$X$$是赋范线性空间，$$M$$为$$X$$的闭子空间，若$$M$$中有点列{xn}\{x_n\}{xn​}弱收敛于$$x_0\in X_0$$，那么必有$$x_0\in M$$。
证：反证法假设$$x_0\notin M$$，则$$d(x_0,M)>0$$。可知，$$\exists f\in X^{\prime }$$满足条件:
1°当$$x\in M$$时，$$f(x)=0$$；
2°$$f(x_0)=d(x_0,M)$$；
3°$$\parallel f\parallel =1$$。
由于$$x_n\subset M$$有$$f(x_n)=0$$。利用{xn}\left\{x_n\right\}{xn​}的弱收敛性，得$$f(x_0)\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=0$$，这与$$2^{\circ }f(x_0)=d(x_0,M)>0$$矛盾。故$$x_0\in M$$。
这个证明用了以下几个实变函数中的重要概念和定理：

1. Hahn-Banach定理：该定理是泛函分析中的一个基本定理，它保证了在赋范线性空间中，任何给定的有界线性泛函都可以被扩展为一个在更大范围内定义且有相同范数的连续线性泛函。在这个证明中，假设$$x_0\notin M$$，然后使用Hahn-Banach定理构造了一个线性连续泛函$$f$$，它在$$M$$上恒为0，在$$x_0$$处取得其在$$M$$上的距离。
2. 弱收敛的定义：在赋范线性空间中，一个点列弱收敛于某点是指该点列在所有连续线性泛函下的极限等于该点在这些泛函下的值。在这个证明中，使用了弱收敛的定义来得到$$f(x_n)\to f(x_0)$$。
3. 闭集的性质：闭集包含了它的所有极限点。这个性质直接关联到闭子空间的定义。
   以下是解题思路的具体步骤：

• 1：假设$$x_0\notin M$$，根据闭集的性质，存在一个正数$$d=d(x_0,M)>0$$，表示$$x_0$$到闭子空间$$M$$的距离。
• 2：应用Hahn-Banach定理，找到一个连续线性泛函$$f\in X^{\prime }$$，使得：
  • $$f(x)=0$$ 对于所有$$x\in M$$；
  • $$f(x_0)=d$$；
  • $$\Vert f\Vert =1$$。
• 3：由于{xn}⊂M\{x_n\} \subset M{xn​}⊂M，根据$$f$$的定义，有$$f(x_n)=0$$对所有$$n$$成立。
• 4：根据弱收敛的定义，{xn}\{x_n\}{xn​}弱收敛于$$x_0$$意味着对于所有的$$f\in X^{\prime }$$，都有$$f(x_n)\to f(x_0)$$。
• 5：将步骤3和步骤4结合起来，得到$$f(x_n)\to f(x_0)=0$$，这与$$f(x_0)=d>0$$矛盾。
• 6：由于假设$$x_0\notin M$$导致了矛盾，因此得出结论$$x_0\in M$$。