代数基本定理

代数基本定理

多项式 $f(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$（其中 $n>1$ 且 $a_n,a_0\ne 0$）在复数域内有根。

约定

以 $t$ 为参数的闭曲线

$${\Gamma }_t=f(t{e}^{i\theta }),\theta \in [0,2\pi ],t\in [0,+\infty )$$

其中 ${\Gamma }_0\to a_0$。

闭曲线到点 $p$ 的距离

$$d({\Gamma }_t,p)=\underset{\theta \in [0,2\pi ]}{\min }|f(t{e}^{i\theta })-p|$$

符号函数 $sign(t)$

$$sign(t)=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{原点在 }{\Gamma }_t\text{外部(与无穷远处连通)}\\ 0,& \text{原点在 }{\Gamma }_t\text{ 上}\\ 1,& \text{原点在 }{\Gamma }_t\text{ 内部}\end{array}$$

介值函数

$$s(t)=sign(t)\cdot d({\Gamma }_t,0)$$

证明步骤

1. 多项式的性质

给定的多项式为：

$$f(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$$

其中 $n>1$ 且 $a_n,a_0\ne 0$。

2. $d({\Gamma }_t,0)$ 的连续性

• 多项式的连续性：由于 $f(z)$ 是多项式函数，它在复平面上是解析的，因此也是连续的。
• 最小值的连续性：由于 $f(t{e}^{i\theta })$ 关于 $(t,\theta )$ 是连续的，其模长 $|f(t{e}^{i\theta })|$ 也是连续的。因此，$d({\Gamma }_t,0)$ 作为 $|f(t{e}^{i\theta })|$ 在闭区间 $[0,2\pi ]$ 上的最小值，关于 $t$ 是连续的。

3. $s(t)$ 的连续性

• 符号函数的定义：$sign(t)$ 的定义基于原点与 ${\Gamma }_t$ 的相对位置。
• 连续性分析：当 $d({\Gamma }_t,0)=0$ 时，原点在 ${\Gamma }_t$ 上，此时 $sign(t)=0$，因此 $s(t)=0$。当 $d({\Gamma }_t,0)\ne 0$ 时，原点在 ${\Gamma }_t$ 的内部或外部，此时 $sign(t)$ 为 $-1$ 或 $1$。由于 $d({\Gamma }_t,0)$ 是连续的，且 $sign(t)$ 的变化发生在 $d({\Gamma }_t,0)=0$ 的点，因此 $s(t)$ 是连续的。

4. $s(0)$ 的值

• 当 $t=0$ 时，${\Gamma }_0=f(0)=a_0$，因此：
  $$d({\Gamma }_0,0)=|a_0|$$
• 由于 ${\Gamma }_0$ 是一个点，且 $|a_0|\ne 0$，因此原点在 ${\Gamma }_0$ 的外部，所以 $sign(0)=-1$。
• 因此：
  $$s(0)=sign(0)\cdot d({\Gamma }_0,0)=-|a_0|$$

5. $s(t)$ 在 $t\to +\infty$ 时的行为

• 当 $t\to +\infty$ 时，多项式 $f(z)$ 的主导项是 $a_n{z}^n$，因此：
  $$f(t{e}^{i\theta })\approx a_n(t{e}^{i\theta }{)}^n=a_n{t}^n{e}^{in\theta }$$
• 从而：
  $$|f(t{e}^{i\theta })|\approx |a_n|t^n$$
• 由于 $n>1$，当 $t\to +\infty$ 时，$|a_n|t^n\to +\infty$。
• 因此：
  $$d({\Gamma }_t,0)\to +\infty \text{当}t\to +\infty$$
• 由于 ${\Gamma }_t$ 在 $t\to +\infty$ 时远离原点，因此 $sign(t)=1$。
• 因此：
  $$s(t)\to +\infty \text{当}t\to +\infty$$

6. 介值定理的应用

• 由于 $s(t)$ 是连续函数，且 $s(0)=-|a_0|<0$，$s(t)\to +\infty$ 当 $t\to +\infty$，根据介值定理，必然存在某个 $t_m\in (0,+\infty )$ 使得：
  $$s(t_m)=0$$

7. 结论

• 由于 $s(t_m)=0$，这意味着在半径为 $t_m$ 的圆上，存在某个 $z_m=t_m{e}^{i{\theta }_m}$ 使得 $f(z_m)=0$。