用闭图像定理证明逆算子定理

证：设$$T$$为Banach空间$$X$$到Banach空间$$Y$$上的一对一对有界线性算子。
$$T^{-1}$$的图像G(T−1)={y,T−1y∣y∈Y}G\left(T^{-1}\right)=\{y,T^{-1}y\mid y\in Y\}G(T−1)={y,T−1y∣y∈Y}，若$$\left(y_n,T^{-1}{y}_n\right)\to \left(y_0,x_0\right)$$，则$$y_n\to y_0,T^{-1}{y}_n\to x_n\left(n\to \infty \right)。$$设$$x_n=T^{-1}{y}_n$$，则$$x_n\to x_n,T{x}_n\to y_0$$。由于$$T$$是连续的，则$$T{x}_0=\underset{n\to \infty }{\lim }T{x}_n=y_0$$，即$$x_0=T^{-1}{y}_0$$。这样$$\left(y_0,x_0\right)\in G\left(T^{-1}\right)$$。于是我们证明了$$G\left(T^{-1}\right)$$在$$Y\times X$$中是闭集，故$$T^{-1}$$是闭算子。由闭图像定理可知，$$T^{-1}$$是有界的。

在这道题目用了以下定理和引理：

1. 闭图像定理：如果一个线性算子的图像在赋范空间的产品空间中是闭的，那么这个线性算子是连续的（即有界的）。
2. 有界线性算子的连续性：有界线性算子是连续的，这意味着如果序列在赋范空间中收敛，那么算子作用在这个序列上的结果也收敛。
3. 赋范空间的收敛性：在赋范空间中，序列的收敛性定义。
4. 线性算子的性质：线性算子的一一对应性和有界性。
   应用这些定理的解题思路是：

• 明确要证明的目标是$$T^{-1}$$是有界的。
• 通过定义和分析$$T^{-1}$$的图像，以及利用$$T$$的连续性，来证明$$T^{-1}$$的图像是闭集。
• 应用闭图像定理得出$$T^{-1}$$是有界的结论。
  这个过程体现了从定义出发，逐步利用已知条件和相关定理进行逻辑推理的解题方法。
  解题思路如下：
  （1） 定义了逆算子$$T^{-1}$$的图像$$G(T^{-1})$$。
  （2） 考虑图像中的一个任意收敛序列{(yn,T−1yn)}\{(y_n, T^{-1}y_n)\}{(yn​,T−1yn​)}，它收敛到某个点$$(y_0,x_0)$$。
  （3） 由于$$T$$是一对一且有界的线性算子，所以$$T$$是连续的。因此，如果$$x_n=T^{-1}{y}_n$$收敛到$$x_0$$，那么$$T{x}_n$$收敛到$$T{y}_0$$。
  （4） 通过连续性，证明了$$(y_0,x_0)$$属于$$G(T^{-1})$$，从而证明了$$G(T^{-1})$$是闭集。
  （5） 由于$$G(T^{-1})$$是闭集，根据闭图像定理，$$T^{-1}$$是有界的。