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2.1 二元感知模型

在当前无线传感器网络（WSN）覆盖场景中，最常见且理想的感知模型是二元感知模型[27]。如图2所示，$Q_1$和$Q_2$代表平面区域内的两个随机点。$Q_1$位于传感器的检测区域内，其感知概率为1。$Q_2$的感知概率为0，因为它位于传感器的检测区域之外。二元感知模型的公式可以表示为：

$$P(M_i,Q)=\{\begin{array}{ll}1,& d(M_i,Q)\le r\\ 0,& d(M_i,Q)>r\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中，$M$表示监控区域内的传感器节点，所有节点具有相同的感知半径$r$，节点集表示为$(M_1,M_2,M_3\cdots M_n)$。$d(M,Q)$是监控点$Q$与传感器节点$M$之间的欧几里得距离。$P(M_i,Q)$是传感器节点$M$检测点$Q$的概率。

2.1.2 传感器节点的二维和三维覆盖模型

无线传感器网络的监控区域被划分为二维矩形区域$E\times F$和三维监控区域$E\times F\times L$，其中在监控区域内部署了$n$个传感器节点。

在二维区域中，传感器节点$M_i$的位置坐标为$(X_i,Y_i)$，监控节点$Q$的位置坐标为$(X_j,Y_j)$。传感器节点$M_i$和目标监控点$Q$之间的欧几里得距离定义为：

$$d(M_i,Q)=\sqrt{(X_i-X_j{)}^2+(Y_i-Y_j{)}^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$

在三维区域中，传感器节点$M_i$的位置坐标为$(X_i,Y_i,Z_i)$，监控节点$Q$的位置坐标为$(X_j,Y_j,Z_j)$。传感器节点$M_i$和目标监控点$Q$之间的欧几里得距离定义为：

$$d(M_i,Q)=\sqrt{(X_i-X_j{)}^2+(Y_i-Y_j{)}^2+(Z_i-Z_j{)}^2}\text{\hspace{1em}(3)}$$

此外，多个节点可以覆盖监控区域内的同一目标点。节点集$M$检测监控点$Q$的概率由下式给出：

$$P(M,Q)=1-\prod _{i=1}^n(1-P(M_i,Q))\text{\hspace{1em}(4)}$$

覆盖率可以定义为监控区域总面积中所有传感器节点覆盖的比例[28]。因此，在二维WSN环境中的覆盖率表示为：

$${\text{Cov}}_{2D}=\frac{{\sum }_{Q\in E\times F}P(M,Q)}{E\times F}\text{\hspace{1em}(5)}$$

在三维WSN环境中的覆盖率表示为：

$${\text{Cov}}_{3D}=\frac{{\sum }_{Q\in E\times F\times L}P(M,Q)}{E\times F\times L}\text{\hspace{1em}(6)}$$