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背包问题

引言

什么是背包问题？
背包问题就是一个有限的背包，给出一定的物品，如何合理的装入物品使得背包中的物品的价值最大？

01背包

01背包，顾名思义就是每一种给定的物品要么选择，要么不选，求出最终最大的价值。
针对01背包又有两种情况，一种情况是要求最终装满背包，第二种是不用一定装满背包。
下面给出一道例题，并且给出01背包的dp解法。

1. leetcode LCR 101 : 分割等和子集
   
   解题思路：
   明显，我们可以理解为这里有一个Sum{ai} / 2的背包，我们需要将他装满，这道题比较简单，没有value值。
   状态转移方程：（01背包常见的状态转移方程）

• dp[i][j] : 前i个元素能够填充大小为j的背包的最大价值
• dp[i][j] = max { dp[i - 1][j] , dp[i -1][j - Size[i]] + value[i] }

第i个位置，可以不选择它装入背包， 这个时候为dp[i - 1][j] ， 也可以选择，这个时候为dp[i -1][j - Size[i]] + value[i]

细节： 
1. 判断j >= Size[i] 
2. 初始化size的时候 + 1，可以更好处理边界条件

总结：其实无论是否一定需要装满，状态转换方程都差不多，最大的差别是初始化dp的时候存在较大的差异，希望读者注意。

完全背包

完全背包，和01背包的差异就是每一种物品可以选取多次，其他一样，也是可以分为装满和不需要一定装满两种情况。
不太会Latex, 只有手绘。

例题：leetcode LRC 103 零钱兑换

解法：

总结

这里列举了常见的基础背包问题的解法，再往后学习就是竞赛难度的背包问题，这里我们不再继续赘述，读者想要了解更加复杂的背包问题，可以自行继续探索。