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机器学习——线性回归

news 2025/6/29 16:00:03

回顾：

监督学习分为回归和分类

回归（ Regression 、 Prediction ）

如何预测上海浦东的房价？
未来的股票市场⾛向？

分类（ Classification ）

身⾼1.85m，体重100kg的男⼈穿什么尺码的T恤？
根据肿瘤的体积、患者的年龄来判断良性或恶性？

线性回归的概念

是⼀种通过属性的线性组合来进⾏预测的线性模型，其⽬的是找到⼀条直线或者⼀个平⾯或者更⾼维的超平⾯，使得预测值与真实值之间的误差最⼩化。

由上述所说，线性关系不仅仅只能存在 2 个变量（二维平面）。3 个变量时（三维空间），线性关系就是一个平面，4 个变量时（四维空间），线性关系就是一个体。以此类推…

线性回归(LR)可分为：简单一元线性回归和多元线性回归，也就是我们平时接触的一次线性方程和多次线性方程，二者的主要区别也就是未知项的个数。

接下来定义符号...

符号定义

m 代表训练集中样本的数量

n 代表特征的数量

x 代表特征/输入变量

y 代表目标变量/输出变量

(x,y)代表训练集中的样本

代表第i个观察样本

h 代表学习算法的解决方案或函数也称为假设(hypothesis)

，代表预测的值

单变量线性回归（简单一元线性回归）

这里可以设X0为1，

损失函数(Loss Function)度量单样本预测的错误程度，损失函数值越⼩，模型就越好。常⽤的

损失函数包括：0-1损失函数、平⽅损失函数、绝对损失函数、对数损失函数等

代价函数(Cost Function)度量全部样本集的平均误差。

常⽤的代价函数包括均⽅误差、均⽅根误差、平均绝对误差等。

对于损失函数，这里采用平方和损：

（其中1/2是为了便于计算）

要找到一组w(w0,w1)，使得残差平方和最小：

这里的代价函数是MSE：

如何求解此时的单变量线性回归？可以用最小二乘法、梯度下降等等，这里主要介绍梯度下降

梯度下降（单变量）

梯度下降法的目标是最小化损失函数 J(w)。对于线性回归问题，通常使用均方误差（MSE）作为损失函数

梯度是损失函数对参数的偏导数，表示损失函数在参数空间中的变化方向。对于线性回归，梯度计算如下：

做法：

对于其中的学习率选取要注意，不能太小，不然梯度下降太缓慢，也不能太大，可能导致无法收敛，甚至发散。

对于上述公式，结合我们前面的线性回归模型的公式：

那么：

最终：

而对于梯度下降按照训练样本的使用，可以分为批量梯度下降、随机梯度下降、小批量梯度下降。

对于批量梯度下降，梯度下降的每⼀步中，都⽤到了所有的训练样本，对于参数更新：

对于随机梯度下降，梯度下降的每⼀步中，⽤到⼀个样本，在每⼀次计算之后便更新参数，⽽不需要⾸先将所有的训练集求和，对于参数更新：

对于小批量梯度下降，梯度下降的每一步中，用到了一定批量的训练样本，每次计算常数b次训练实例，便更新一次参数w，对应参数更新：

多变量梯度下降（多元线性回归）

其实就是增加了X...其他与单变量一致...

当其中n=1时，就是单变量线性回归，当n>=时，

标

签连续

数据归一化/标准化

归一化（最大-最小规范化）

将数据映射到[0,1]区间

数据归⼀化的目的是使得各特征对⽬标变量的影响⼀致，会将特征数据进⾏伸缩变化，所以数据归⼀化是会改变特征数据分布的。

Z-Score标准化

处理后的数据均值为0，方差为1

数据标准化为了不同特征之间具备可⽐性，经过标准化变换之后的特征数据分布没有发⽣改变。

为什么进行归一化/标准化？

提升模型精度：不同维度之间的特征在数值上有⼀定⽐较性，可以⼤⼤提⾼分类器的准确性。

加速模型收敛：最优解的寻优过程明显会变得平缓，更容易正确的收敛到最优解。

所有数据都需要数据归一化/标准化？

需要做数据归⼀化/标准化

线性模型，如基于距离度量的模型包括KNN(K近邻)、K-means聚类、感知机和SVM。另外，线性回归类的⼏个模型⼀般情况下也是需要做数据归⼀化/ 标准化处理的。

不需要做数据归⼀化/标准化

决策树、基于决策树的Boosting和Bagging等集成学习模型对于特征取值⼤⼩并不敏感，如随机森林、XGBoost、LightGBM等树模型，以及朴素⻉叶斯，以上这些模型⼀般不需要做数据归⼀化/标准化处理

正规方程

除了梯度下降，也可以利用正规方程来求解...

对于单变量，就是解决：

对于多变量，就是：

最小二乘法（LSM）

要找到一组w,使得 J(w)最小，也就是最小化

我们这里么将向量表达式转化为矩阵表达式，也就是：

其中的X为m行n+1列的矩阵（m是样本个数，n为特征个数），w为n+1行1列的矩阵（包含了w_0）Y为m行1列的矩阵，则：

所以对于正规方程有：

TIPS：对于那些不可逆的矩阵，正规⽅程⽅法是不能⽤的。

这可能会出现欠拟合和过拟合现象。。。

过拟合处理

1.获得更多的训练数据

        使⽤更多的训练数据是解决过拟合问题最有效的⼿段，因为更多的样本能够让模型学习到更多更有效的特征，减⼩噪声的影响。

2.降维

        即丢弃⼀些不能帮助我们正确预测的特征。可以是⼿⼯选择保留哪些特征，或者使⽤⼀些模型选择的算法来帮忙（例如PCA）。

3.集成学习⽅法

        集成学习是把多个模型集成在⼀起，来降低单⼀模型的过拟合⻛险。

4.正则化

        正则化(regularization)的技术，保留所有的特征，但是减少参数的⼤⼩（magnitude），它可以改善或者减少过拟合问题。

欠拟合处理

1.添加新特征

        当特征不⾜或者现有特征与样本标签的相关性不强时，模型容易出现⽋拟合。通过挖掘组合特征等新的特征，往往能够取得更好的效果。

2.增加模型复杂度

         简单模型的学习能⼒较差，通过增加模型的复杂度可以使模型拥有更强的拟合能⼒。例如，在线性模型中添加⾼次项，在神经⽹络模型中增加⽹络层数或神经元个数等。

3.减⼩正则化系数

        正则化是⽤来防⽌过拟合的，但当模型出现⽋拟合现象时，则需要有针对性地减⼩正则化系数。