神经网络的本质 逻辑回归 python的动态展示

逻辑回归运行图

相关代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
import time
from matplotlib.gridspec import GridSpec# 解决中文显示问题
plt.rcParams["font.family"] = ["SimHei", "WenQuanYi Micro Hei", "Heiti TC"]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False# 生成模拟数据
np.random.seed(int(time.time()))
n_samples = 200
X = np.vstack([np.random.normal([-1, -1], 1, size=(n_samples, 2)),np.random.normal([1, 1], 1, size=(n_samples, 2))
])
y = np.hstack([np.zeros(n_samples), np.ones(n_samples)])# 激活函数
def sigmoid(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# 训练函数
def train(X, y, lr=0.01, epochs=300, save_every=10):n_samples, n_features = X.shapeW = np.random.randn(n_features)b = 0w_history = [W.copy()]b_history = [b]loss_history = []for epoch in range(epochs):linear_output = np.dot(X, W) + by_pred = sigmoid(linear_output)dW = (1 / n_samples) * np.dot(X.T, (y_pred - y))db = (1 / n_samples) * np.sum(y_pred - y)W -= lr * dWb -= lr * dbif epoch % save_every == 0:w_history.append(W.copy())b_history.append(b)loss = -np.mean(y * np.log(y_pred) + (1 - y) * np.log(1 - y_pred))loss_history.append(loss)print(f"Epoch {epoch}, Loss: {loss:.4f}")return w_history, b_history, loss_history# 预测函数
def predict(X, W, b):linear_output = np.dot(X, W) + by_pred = sigmoid(linear_output)return np.round(y_pred)# 动画更新函数（使用GridSpec管理布局）
def update(frame, w_history, b_history, X, y, gs):W = w_history[frame]b = b_history[frame]plt.clf()fig = plt.gcf()fig.set_size_inches(10, 8)# 主图：数据点和决策边界ax1 = fig.add_subplot(gs[0, :])ax1.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1], c='blue', label='类别0', alpha=0.8)ax1.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], c='red', label='类别1', alpha=0.8)# 绘制决策边界x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, 200), np.linspace(y_min, y_max, 200))Z = predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()], W, b)Z = Z.reshape(xx.shape)ax1.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3, cmap='viridis')ax1.contour(xx, yy, Z, colors='k', linewidths=1)ax1.set_xlabel('特征1', fontsize=12)ax1.set_ylabel('特征2', fontsize=12)ax1.set_title(f'逻辑回归训练过程 - 迭代 {frame * 10}', fontsize=14)ax1.legend()# 子图：损失曲线（使用GridSpec管理）ax2 = fig.add_subplot(gs[1, :])ax2.plot(range(len(loss_history))[1:], loss_history[1:], 'r-')ax2.set_title('损失曲线')ax2.set_xlabel('迭代 (x10)')ax2.set_ylabel('损失')ax2.grid(True)# 使用GridSpec后无需tight_layout# plt.tight_layout()  # 取消此行# 训练模型
w_history, b_history, loss_history = train(X, y, lr=0.05, epochs=300, save_every=5)# 配置GridSpec布局
fig = plt.figure(figsize=(12, 10))
gs = GridSpec(2, 1, height_ratios=[3, 1], figure=fig)  # 主图占3份，子图占1份# 创建动画
ani = FuncAnimation(fig, update,frames=len(w_history),fargs=(w_history, b_history, X, y, gs),interval=100,repeat=True
)plt.show()
plt.close('all')

什么是逻辑回归

Logistic regression

1. 分类算法
2. 用于二分类问题
3. 核心是构建线性模型
4. 使用sigmoid函数将线性输出映射到【0,1】区间
5. 常用于垃圾邮件分析、风险控制、概率预测、特征分析

sigmoid函数可以很好的处理输入的异常数据，并将输出结果控制在【0,1】之间

线性回归使用 回归线和所有点之间的平方差进行判断
而对于逻辑回归使用了交叉熵损失；

和ai的关系

1. AI 的基础组成部分：
   人工智能的核心是让机器具备 “学习” 和 “决策” 能力，而逻辑回归作为最简单的机器学习算法之一，是 AI 领域的基础工具。它体现了 AI 中 “通过数据训练模型进行预测” 的核心思想。
2. 可解释性 AI 的代表：
   相比复杂的深度学习模型，逻辑回归的参数（权重和偏置）具有明确的物理意义，便于人类理解决策依据，因此在医疗、金融等对可解释性要求高的场景中不可或缺。
3. 复杂 AI 系统的前置步骤：
   在构建复杂 AI 系统时，逻辑回归常作为基线模型（Baseline Model），用于对比更复杂模型的效果，或作为特征工程的验证工具。

同时，逻辑回归本质就是单层神经网络，（仅有输入、输出层）
当神经网络仅有一个输出节点且使用sigmoid激活函数 == 逻辑回归
逻辑回归使用梯度下降法优化交叉熵损失，而神经网络使用了反向传播算法（扩展的梯度下降）优化损失；

逻辑回归公式流程与实际案例解析

一、逻辑回归的数学公式流程

1. 线性组合阶段

逻辑回归的基础是线性模型，首先对输入特征进行线性组合：

z = w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wₙxₙ + b = X·W + b

• X：输入特征向量（维度为n）
• W：权重向量（模型参数）
• b：偏置项（截距）
• z：线性组合的结果

2. 激活函数（Sigmoid）

线性组合的结果通过sigmoid函数映射到[0,1]区间，表示样本属于正类的概率：

σ(z) = 1 / (1 + e^(-z))

sigmoid函数的特性：

• 当z→+∞时，σ(z)→1（属于正类的概率高）
• 当z→-∞时，σ(z)→0（属于负类的概率高）
• 导数特性：σ’(z) = σ(z)(1-σ(z))，这对梯度计算很重要

3. 概率预测与决策

预测概率：

P(y=1|X) = σ(z) = 1 / (1 + e^(-X·W - b))
P(y=0|X) = 1 - σ(z)

决策规则：

y_pred = {1, if σ(z) ≥ 0.5; 0, otherwise}

4. 交叉熵损失函数

逻辑回归使用交叉熵作为损失函数，衡量预测概率与真实标签的差异：

单个样本损失：
L(ŷ, y) = -[y·log(ŷ) + (1-y)·log(1-ŷ)]m个样本的平均损失：
J(W, b) = -(1/m)∑[y⁽ⁱ⁾·log(ŷ⁽ⁱ⁾) + (1-y⁽ⁱ⁾)·log(1-ŷ⁽ⁱ⁾)]

• y：真实标签（0或1）
• ŷ：预测概率（σ(z)）

5. 梯度下降优化

计算损失函数对参数的梯度：

dJ/dW = (1/m)∑(ŷ - y)·X
dJ/db = (1/m)∑(ŷ - y)

参数更新公式：

W = W - α·dJ/dW
b = b - α·dJ/db

• α：学习率

二、实际案例：肿瘤良恶性预测

下面以一个简化的肿瘤预测问题为例，演示逻辑回归的完整计算过程。

问题设定：

• 特征：肿瘤大小(cm)、细胞异型性评分(1-10)
• 标签：1（恶性），0（良性）
• 样本数据：3个训练样本

肿瘤大小(x₁)	异型性评分(x₂)	恶性(y)
2.5	7	1
1.8	4	0
3.2	8	1

1. 初始化参数

设初始权重和偏置为：

W = [0, 0]
b = 0
学习率α = 0.1

2. 前向传播计算预测概率

以第一个样本(2.5, 7)为例：

z = 0×2.5 + 0×7 + 0 = 0
ŷ = σ(0) = 1/(1+e^0) = 0.5

三个样本的预测概率：

• 样本1: ŷ=0.5
• 样本2: ŷ=0.5
• 样本3: ŷ=0.5

3. 计算交叉熵损失

单个样本损失：

• 样本1: -[1·log(0.5) + 0·log(0.5)] = -log(0.5) ≈ 0.693
• 样本2: -[0·log(0.5) + 1·log(0.5)] = -log(0.5) ≈ 0.693
• 样本3: -[1·log(0.5) + 0·log(0.5)] = -log(0.5) ≈ 0.693

平均损失：

J = (0.693 + 0.693 + 0.693)/3 ≈ 0.693

4. 计算梯度并更新参数

计算每个样本的(ŷ - y)：

• 样本1: 0.5 - 1 = -0.5
• 样本2: 0.5 - 0 = 0.5
• 样本3: 0.5 - 1 = -0.5

计算梯度：

dJ/dW₁ = (1/3)[(-0.5)×2.5 + 0.5×1.8 + (-0.5)×3.2]= (1/3)[-1.25 + 0.9 - 1.6] = (1/3)(-1.95) = -0.65dJ/dW₂ = (1/3)[(-0.5)×7 + 0.5×4 + (-0.5)×8]= (1/3)[-3.5 + 2 - 4] = (1/3)(-5.5) ≈ -1.833dJ/db = (1/3)[-0.5 + 0.5 - 0.5] = (1/3)(-0.5) ≈ -0.167

参数更新：

W₁ = 0 - 0.1×(-0.65) = 0.065
W₂ = 0 - 0.1×(-1.833) = 0.1833
b = 0 - 0.1×(-0.167) = 0.0167

5. 迭代优化

重复前向传播、损失计算和梯度更新过程，直到损失收敛。假设经过100次迭代后，参数收敛到：

W = [0.8, 1.2]
b = -5.0

6. 最终决策边界

决策边界方程为：

0.8x₁ + 1.2x₂ - 5 = 0

当样本满足0.8x₁ + 1.2x₂ - 5 ≥ 0时，预测为恶性肿瘤；否则为良性。

三、与代码的结合解析

1. 数据生成：创建两类二维数据点
2. sigmoid函数：实现激活函数
3. train函数：
   • 初始化参数W和b
   • 前向传播计算z和ŷ
   • 计算交叉熵损失
   • 计算梯度并更新参数
   • 记录训练过程

代码中的核心公式对应关系：

• linear_output = np.dot(X, W) + b 对应 z = X·W + b
• y_pred = sigmoid(linear_output) 对应 ŷ = σ(z)
• loss = -np.mean(y * np.log(y_pred) + (1 - y) * np.log(1 - y_pred)) 对应交叉熵损失
• dW = (1 / n_samples) * np.dot(X.T, (y_pred - y)) 对应梯度计算

四、逻辑回归的本质与局限

逻辑回归本质上是通过线性模型拟合样本的对数几率（log-odds）：

log(ŷ/(1-ŷ)) = X·W + b

这使得它能够处理概率意义上的分类问题。

局限性：

• 只能处理线性可分问题（通过特征工程可部分解决）
• 对异常值敏感
• 无法自动学习特征间的复杂交互

但作为基础模型，逻辑回归在工业界仍有广泛应用，尤其在需要可解释性的场景中（如金融风控、医疗诊断）。