每天五分钟机器学习：凸集

本文重点

在SVM中，目标函数是一个凸函数，约束集合是一个凸集。因此，SVM问题可以转化为一个凸规划问题来求解。这使得SVM在实际应用中具有较高的计算效率和准确性。

凸集的定义

凸集是指一个集合中的任意两点之间的线段都完全包含在这个集合中。换句话说，给定集合C中的两个点p1和p2，它们之间的连线上的所有点都属于该集合C。这个定义可以用数学公式表示为：对于任意p1, p2∈C，以及任意λ∈[0,1]，都有λp1+(1-λ)p2∈C。这里，λ是一个标量，表示在两点p1和p2之间的所有可能点。

根据这个定义，线段、射线和直线都是凸集。更具体地说，凸集在n维空间中可以是一个n维凸体，例如一个n维的球体、超立方体等。

0维凸集：是一个点，显然满足凸集的定义，因为没有两点可以形成线段。

1维凸集：是一条线段，它的任何两点之间的连线都完全位于这条线段上。

2维凸集：例如一个凸多边形（如正方形、三角形），其中每一对顶点之间的连线都在这个多边形内。

3维凸集：例如一个凸多面体ÿ