欧拉-伯努利梁自由波动的频散关系
梁和杆都是一维结构，但是梁的弯曲波比杆的纵波要复杂多。例如即使最简单的欧拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁的弯曲波也具有频散特征，且当梁的特征尺寸和弯曲波波长满足某个比值时，欧拉-伯努利梁不再适用，需要引入铁摩辛克(Timoshenko)梁模型。
考察某一欧拉-伯努利梁，长度为 L L L，截面积为 A A A，截面惯性矩 I = r g 2 A I=r_g^2 A I=rg2A，材料密度为 ρ \rho ρ，弹性模量 E E E。以梁的左端为起点，建立直角坐标系， x x x轴与梁的中线重合。位于中线随时间 t t t变化的横向位移记为 v ( x , t ) v(x,t) v(x,t)，则梁的动力学方程为：
ρ A ∂ 2 v ( x , t ) ∂ t 2 + E I ∂ 4 v ( x , t ) ∂ x 4 = 0 , x ∈ [ 0 , L ] , t ∈ [ 0 , + ∞ ) ( 7.4.1 ) \rho A \frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2} + EI \frac{\partial^4 v(x,t)}{\partial x^4} = 0, x \in [0,L], t \in [0,+\infty) \qquad(7.4.1) ρA∂t2∂2v(x,t)+EI∂x4∂4v(x,t)=0,x∈[0,L],t∈[0,+∞)(7.4.1)
将梁的横向位移表示为复函数的实部：
v ( x , t ) = R e [ v c ( x , t ) ] v c ( x , t ) = v ~ c ( x ) exp ( i ω t ) ( 7.4.2 ) \begin{aligned} &v(x,t) = {\rm Re}[v_c(x,t)]\\ &v_c(x,t) = \tilde{v}_c(x) \exp{({\rm i}\omega t)} \end{aligned} \qquad(7.4.2) v(x,t)=Re[vc(x,t)]vc(x,t)=v~c(x)exp(iωt)(7.4.2)
式中 ω \omega ω 是频率， v ~ c ( x