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线段树例题题解

news 2025/8/6 12:37:59

卫星覆盖（NOI1997）

题面：

SERCOI（Space-Earth Resource Cover-Observe lnstitute）是一个致力于利用卫星技术对空间和地球资源进行覆盖观测的组织。现在他们研制成功一种新型资源观测卫星 -SERCOI-308。这种卫星可以覆盖空间直角坐标系中一定大小的立方体空间，卫星处于该立方体的中心。其中（x,y,z）（x,y,z）为立方体的中心点坐标， rr 为此中心点到立方体各个面的距离（即 rr 为立方体高的一半）．立方体的各条边均平行于相应的坐标轴。我们可以用一个四元组 (x,y,z,r)(x,y,z,r) 描述一颗卫星的状态，它所能覆盖的空间体积。由于一颗卫星所能覆盖的空间体积是有限的，因此空间中可能有若干颗卫星协同工作。它们所覆盖的空间区域可能有重叠的地方，如下图所示（阴影部分表示重叠的区域）。

写一个程序，根据给定的卫星分布情况，计算它们所覆盖的总体积。

思路

第一道自己做的NOI的题。

说白了就是求三维立方体的覆盖体积。

我们继承我们二维的思想，也就是用扫描线和线段树来求矩形的面积并。

扩展到三维上，也就是我们把他分割成很多高度为一的层，然后对于每一个层去做二维的面积并。

然后答案就是每一个层的二维面积并的和。

时间复杂度： $\Theta(n^2\log n)$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
struct owl{int x,y1,y2;int k;bool operator < (const owl & t)const{return x < t.x;}
}seg[N * 2];
struct hoot{int l,r;int cnt;int len;
}tr[N * 8];
vector<int>ys;
int find(int y){return lower_bound(ys.begin(), ys.end(), y) - ys.begin();
}
void pushup(int u){if (tr[u].cnt){tr[u].len = ys[tr[u].r + 1] - ys[tr[u].l];}else if (tr[u].l != tr[u].r){tr[u].len = tr[u << 1].len + tr[u << 1 | 1].len;}else{tr[u].len = 0;}
}
void build(int u,int l,int r){tr[u] = {l,r,0,0};if (l != r){int mid = l + r >> 1;build(u << 1,l,mid),build(u << 1 | 1,mid + 1,r);}
}
void modify(int u,int l,int r,int k){if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r){tr[u].cnt += k;pushup(u);}else{int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;if (l <= mid){modify(u << 1,l,r,k);}if (r > mid){modify(u << 1 | 1,l,r,k);}pushup(u);}
}
struct DID{int x,y,z,d;
}v[N];
struct SOREN{int x1,y1,x2,y2;
};
int main(){cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){cin >> v[i].x >> v[i].y >> v[i].z >> v[i].d;}int ans = 0;for (int Z = -1000; Z <= 1000; Z ++ ){ys.clear();int m = 0;vector<SOREN>vec;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){int x1 = -3000, y1 = -3000, x2 = -3000, y2 = -3000;if (Z >= v[i].z - v[i].d + 1 && Z <= v[i].z + v[i].d){x1 = v[i].x - v[i].d,x2 = v[i].x + v[i].d;y1 = v[i].y - v[i].d,y2 = v[i].y + v[i].d;}if (x1 == -3000 && y1 == -3000 && x2 == -3000 && y2 == -3000){continue;}seg[m ++ ] = {x1, y1, y2, 1};seg[m ++ ] = {x2, y1, y2, -1};vec.push_back({x1,y1,x2,y2});ys.push_back(y1), ys.push_back(y2);}if (vec.size() == 1){ans += (vec[0].x2 - vec[0].x1) * (vec[0].y2 - vec[0].y1);continue;}if (m > 0){sort(ys.begin(), ys.end());ys.erase(unique(ys.begin(), ys.end()), ys.end());build(1, 0, ys.size() - 2);sort(seg, seg + m);int res = 0;for (int i = 0; i < m; i ++ ){if (i > 0){res += (tr[1].len) * (seg[i].x - seg[i - 1].x);}modify(1, find(seg[i].y1), find(seg[i].y2) - 1, seg[i].k);}ans += res;}}cout << ans;return 0; 
}