全脐点曲面当且仅当平面或者球面的一部分
S 是全脐点曲面当且仅当 S 是平面或者球面的一部分。 S_\text{ 是全脐点曲面当且仅当 }{S_\text{ 是平面或者球面的一部分。}} S 是全脐点曲面当且仅当 S 是平面或者球面的一部分。
证：
充分性显然，下证必要性。
若 r ( u , v ) r(u,v) r(u,v)是全脐点曲面，设其在 ( u , v ) (u,v) (u,v)处的主曲率为 k ( u , v ) k(u,v) k(u,v),则有 L = k E , M = k F , N = k G L=kE,M=kF,N=kG L=kE,M=kF,N=kG。
则 k = L / E k=L/E k=L/E是光滑的，并且
⟨ n u + k r u , r u ⟩ = − L + k E = 0 \langle n_u+kr_u,r_u\rangle=-L+kE=0 ⟨nu+kru,ru⟩=−L+kE=0
⟨ n u + k r u , r v ⟩ = − M + k F = 0 ⟨ n u + k r u , n ⟩ = 0 \begin{aligned}&\langle n_u+kr_u,r_v\rangle=-M+kF=0\\&\langle n_u+kr_u,n\rangle=0\end{aligned} ⟨nu+kru,rv⟩=−M+kF=0⟨nu+kru,n⟩=0
从而 n u + k r u = 0 n_u+kr_u=0 nu+kru=0,同理 n v + k r v = 0 n_v+kr_v=0 nv+krv=0。
两式求偏导数再相减，得到 k v r u − k u r v = 0 k_vr_u-k_ur_v=0 kvru−kurv=0,从而 k u = k v = 0 k_u=k_v=0 ku=kv=0,从而 k k k是常值函数。
分两种情况讨论
1. k = 0 k=0 k=0,则带入上式看出 n n n是常向量，从而 S S S是平面；
2. k ≠ 0 k\neq0 k=0,则 a : = n + k r a:=n+kr a:=n+kr是常向量，则 ∣ r − a k ∣ = ∣ k n ∣ = 1 ∣ k ∣ |r-\frac ak|=|\frac kn|=\frac1{|k|} ∣r−ka∣=∣nk∣=∣k∣1。从而 S S S是半径为 1 ∣ k ∣ \frac1{|k|} ∣k∣1的球面的一部分。