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高等数学 5.5 反常积分的审敛法 Γ函数

news 2025/7/19 11:46:42

文章目录

一、无穷限反常积分的审敛法
二、无界函数的反常积分审敛法
三、 $\Gamma$ 函数

一、无穷限反常积分的审敛法

定理1 设函数 $f (x)$ 在区间 $+\infty)$ 上连续，且 $\geqslant 0$ .若函数
$\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$
在 $+\infty)$ 上有上界，则反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 收敛。

定理2（比较审敛原理） 设函数 $f (x)$ ， $\mathrm{g}(x)$ 在区间 $+\infty)$ 上连续。如果 $\leqslant f(x) \leqslant \mathrm{g}(x)(a \leqslant x < +\infty)$ 并且 $\displaystyle \int_a^{+\infty} \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x$ 收敛，那么 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 也收敛；如果 $\leqslant \mathrm{g}(x) \leqslant f(x)(a \leqslant x < +\infty)$ ，并且 $\displaystyle \int_a^{+\infty} \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x$ 发散，那么 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 也发散。

定理3（比较审敛法1） 设函数 $f (x)$ 在区间 $+\infty) (a > 0)$ 上连续，且 $\geqslant 0$ .如果存在常数 $M > 0$ 及 $p > 1$ ，使得 $\leqslant \cfrac{M}{x^p}(a \leqslant x < +\infty)$ ，那么反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛；如果存在常数 $N > 0$ 使得 $\geqslant \cfrac{N}{x}(a \leqslant x < +\infty)$ ，那么反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散。

定理4（极限审敛法1） 设函数 $f (x)$ 在区间 $+\infty)$ 上连续，且 $\geqslant 0$ 。如果存在常数 $p > 1$ ，使得 $\lim\limits_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty$ ，那么反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛；如果 $\lim\limits_{x \to +\infty} x f(x) = d > 0$ （或 $\lim\limits_{x \to +\infty} x f(x) = +\infty$ ），那么反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散。

定理5 设函数 $f (x)$ 在区间 $+\infty)$ 上连续。如果反常积分
$\int_a^{+\infty} |f(x)| \mathrm{d}x$
收敛，那么反常积分
$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$
也收敛。

通常称满足定理5条件的反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 绝对收敛。定理5可简单的表述为：绝对收敛的反常积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 必定收敛。

二、无界函数的反常积分审敛法

定理6（比较审敛法2） 设函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续，且 $\geqslant 0$ ， $x = a$ 为 $f (x)$ 的瑕点。如果存在常数 $M > 0$ 及 $q < 1$ ，使得
$\leqslant \cfrac{M}{(x - a)^q} \quad (a < x \leqslant b),$
那么反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 收敛；如果存在常数 $N > 0$ ，使得
$\geqslant \cfrac{N}{x - a} \quad (a < x \leqslant b),$
那么反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 发散。

定理7（极限审敛法2） 设函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续，且 $\geqslant 0$ ， $x = a$ 为 $f (x)$ 的瑕点。如果存在常数 $0 < q < 1$ ，使得
$\lim_{x \to a^+} (x - a)^q f(x)$
存在，那么反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 收敛；如果
$\lim_{x \to a^+} (x - a) f(x) = d > 0 \quad (或 \lim_{x \to a^+} (x - a) f(x) = +\infty),$
那么反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 发散。

三、 $\Gamma$ 函数

$\Gamma$ 函数的定义如下：
$\Gamma (s) = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s - 1} \mathrm{d}x \quad (s > 0)$

$\Gamma 函数$ 的几个重要性质：

递推公式 $\Gamma (s + 1) = s \Gamma(s) \quad (s > 0)$ ；
一般地，对任何正整数 $n$ ，有
$\Gamma(n + 1) = n!$
所以我们可以把 $\Gamma$ 函数看成是阶乘的推广。
当 $\to 0^+$ 时， $\Gamma(s) \to +\infty$
$\Gamma(s) \Gamma(1 - s) = \cfrac{\pi}{\sin{\pi s}} (0 < s < 1)$ .
这个公式称为余元公式。