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a = Sw，其中a和w是向量，S是矩阵，求w等于什么？w可以写成关于a和S的什么样子的公式

news 2025/8/8 1:46:51

给定公式：

$a = Sw$

其中：

$a$ 是已知向量，
$S$ 是已知矩阵，
$w$ 是未知向量。

我们的目标是求解 $w$ ，即将 $w$ 表示为 $a$ 和 $S$ 的函数。

情况 1：矩阵 $S$ 可逆

如果矩阵 $S$ 是可逆矩阵，即 $S$ 是方阵（行数等于列数）且行列式不为零，那么 $S$ 存在逆矩阵 $S^{-1}$ 。在这种情况下，可以直接求解：
$\boxed{w = S^{-1} a}$

步骤：

计算 $S$ 的逆矩阵 $S^{-1}$ ：
- 仅当 $S$ 为方阵且满秩（行列式不为零）时，逆矩阵 $S^{-1}$ 存在。
计算 $w$ ：
$w = S^{-1} a$

示例：

设：
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

计算 $S^{-1}$ ：
$S^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

求解 $w$ ：
$S^{-1} a = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \times 5 - \frac{1}{2} \times 1 \\ 1 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

情况 2：矩阵 $S$ 不可逆或非方阵

如果矩阵 $S$ 不可逆（行列式为零）或是一个非方矩阵（行数不等于列数），则不能直接计算逆矩阵。在这种情况下，可以使用广义逆矩阵（Moore-Penrose 伪逆）来求解。

求解步骤：

计算 $S$ 的伪逆矩阵 $S^{+}$ ：
- $S^{+}$ 满足 $S^{+} = (S^T S)^{-1} S^T$ ，当 $S^T S$ 可逆时。
- 对于更一般的情况，可以使用奇异值分解（SVD）来计算 $S^{+}$ 。
计算 $w$ ：
$\boxed{w = S^{+} a}$

注意：

当方程组有唯一解时， $w = S^{+} a$ 给出唯一解。
当方程组有无穷多解时， $w = S^{+} a$ 给出最小范数解。
当方程组无解（即 $a$ 不在 $S$ 的列空间内）时， $w = S^{+} a$ 给出使 $S w - a \|_2$ 最小的解。

示例：

设：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$

$S$ 是一个 $\times 2$ 的矩阵，无法直接求逆。

计算 $S$ 的伪逆 $S^{+}$ ：

计算 $S^T S$ ：
$S^T S = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35 & 44 \\ 44 & 56 \end{pmatrix}$
计算 $S^T S)^{-1}$ ：
$(S^T S)^{-1} = \frac{1}{35 \times 56 - 44^2} \begin{pmatrix} 56 & -44 \\ -44 & 35 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1.4 & -1.1 \\ -1.1 & 0.875 \end{pmatrix}$
计算 $S^{+} = (S^T S)^{-1} S^T$ ：
$S^{+} = \begin{pmatrix} 1.4 & -1.1 \\ -1.1 & 0.875 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.2 & 0 & 0.2 \\ 0.15 & 0 & -0.15 \end{pmatrix}$
计算 $w = S^{+} a$ ：
$\begin{pmatrix} -0.2 & 0 & 0.2 \\ 0.15 & 0 & -0.15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-0.2) \times 7 + 0 \times 8 + 0.2 \times 9 \\ 0.15 \times 7 + 0 \times 8 + (-0.15) \times 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.4 \\ 0 \end{pmatrix}$