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堆排序易错点

news 2025/7/6 6:17:08

1.建堆和调整堆（插入和删除）

建堆和调整堆的过程是不一样的：

建堆

从非终端节点编号 $i\leq \left \lfloor n/2 \right \rfloor$ 的结点开始依次建立大根堆，例如:

拿第2个图说，首先比较-1，7，从中选一个小的，即“-1”，再与父结点“7”比较。要比较两次。所以，某非终端节点有两个孩子要比较两次，有一个孩子只用比较一次。

插入

直接看一题：

可以很直观的看到和"建立堆"的区别，在第3个图中，18并不需要与13进行对比，直接与父结点对比即可。因为这个堆本来就是一个大根堆，也就是说：在插入之前，13本来就是确定比25小的了，所以直接将插入节点与父结点进行对比（比父结点大，肯定比13大了）。所以在插入数据时，只需要和父结点比较。

补充：

比较次数最多等于树的高度减1，因为树的高度为 $\left \lfloor log_{2}n \right \rfloor+1$ （或者 $\left \lceil log_{2}(n+1) \right \rceil$ ），所以堆的向上调整的比较次数最多等于 $\left \lfloor log_{2}n \right \rfloor$ 。

所以插入一个新元素的时间复杂度为O( $log_2{n}$ ) ，建堆的时间复杂度为O(n)。

删除

删除的过程通过一个题体现：

看到第1个图，一些人可能会想，将大根堆的堆尾放到堆顶，那么22肯定比53小，只用比较53和其兄弟节点，如果其兄弟节点大于53，那么肯定大于22，为什么还要将53与34的较大者再与22进行比较？

这只是一种特殊情况，来看另一种情况：

如果这个图按上面的做法，直接将9，8对比，换父结点时，而不与父结点10对比，显然就错了。

所以删除操作，堆顶数据从上至下对比，如果其有两个孩子对比两次，如果其有一个孩子对比一次。对比次数还是主要看树高，时间复杂度为O(log2n)

2.不同的建堆方式

上面提到的建堆方式是给定序列直接调整成堆，再看一遍过程:

而某些题是给定序列依次插入空堆，那么过程就完全不一样了：

补充：二叉排序树与堆的差别

以小根堆为例，堆的特点是双亲结点的关键字必然小于或等于该孩子结点的关键字，而两个孩子结点的关键字没有次序规定。在二叉排序树中，每个双亲结点的关键字均大于左子树结点的关键字，均小于右子树结点的关键字，也就是说，每个双亲结点的左、右孩子的关键字有次序关系。这样，当对两种树执行中序遍历后，二叉排序树会得到一个有序的序列，而堆则不一定能得到一个有序的序列。

既满足大根堆要求又满足二叉排序树的要求的二叉树（除了单个结点）：