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傅里叶级数，傅里叶变换

news 2025/6/28 7:15:25

先读文章：傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 - 知乎 (zhihu.com)

傅里叶级数

一、内容：每个周期性函数都可以表示为无穷多个不同频率的正弦函数的叠加。

二、公式： $f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\Sigma a_{n}sin(n\omega t+\varphi _{n})=\frac{a_{0}}{2}+\Sigma a_{n}sin(n\omega t)+\Sigma b_{n}cos(n\omega t)$

三、从时域到频域所保留的三点信息：

（1）频率

（2）每个频率所在的振幅

（3）每个频率所在的相位

四、标准正交基为：

（1）1

（2） $sin(n\omega t)$

（3） $cos(n\omega t)$

相互之间的内积（乘积在-pi到pi上的定积分）都等0

傅里叶变换

欧拉公式： $cos(\theta )+isin(\theta )=e^{i\theta }$ ，表示在复平面单位圆上逆时针旋转 $\theta^{^{\circ}}$ .

$\theta =\omega t\Rightarrow cos(\omega t )+isin(\omega t)=e^{i\omega t }$

傅里叶变换公式： $F(\omega )=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

这个公式是怎么来的：

我们知道 $f(t)$ 中包含所有频率，每个频率都具有相应相位和振幅，而傅里叶变换的目的就是找到每个频率下的相位和振幅，表示为 $F(\omega )$ 。从上面傅里叶级数的表示公式可以看出，振幅和相位就是通过 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 表示的。傅里叶变换的公式的目的就是找到每个频率所对应的 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 。

$f(t)$ 包含所有频率，每个频率都有一个sin和一个cos（为保证每个频率对应的都有相位信息）

$e^{-i\omega t}$ 仅包含一个频率，由欧拉公式（ $cos(\omega t )-isin(\omega t)=e^{-i\omega t }$ ）可知频率为 $\omega$ .

每个频率分量相互都正交，所以 $e^{-i\omega t}$ 将 $f(t)$ 中频率为 $\omega$ 的部分抽取了出来，最终得到 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 的信息。

在一些情况下，只考虑 $a_{n}$ 表示振幅与频率的关系， $b_{n}$ 并不用，因为在一些应用中相位用处不大。

而要知道相位信息， $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 两者都需要。

参考视频：B站首发！草履虫都能看懂的【傅里叶变换】讲解，清华大学李永乐老师教你如何理解傅里叶变换，辨清美颜和变声原理，！！_哔哩哔哩_bilibili

http://www.lryc.cn/news/433167.html

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