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第241题｜确定极限中参数问题 | 武忠祥老师每日一题

news 2025/8/2 8:55:09

解题思路：确定极限中的参数的方法是求这个极限；求极限根据类型选方法。

$\frac{0}{0}$ 形可以用到三种方法：洛必达，等价，泰勒。

先观察题目，将 $xe^{x}$ 看成一个整体，同时 $e^{-\frac{x^{2}e^{2x}}{2}}=$ $e^{-\frac{(xe^{x})^{2}}{2}}$ ,并令 $xe^{x}=t$ ,整理之后如下：

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{x^{a}}$

这里 $x^{a}$ 也要想办法弄成 $xe^{x}$ 的形式，例如 $(xe^{x})^{a}$ ,在x趋于0的情况下， $(xe^{x})^{a}=x^{a}$ ,所以最终可以代换成这样：
$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}$

判断类型，这同样是一个 $\frac{0}{0}$ 形，在这里有两种方法来解决：

一：洛必达

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{-sint+e^{-\frac{t^{2}}{2}}t}{at^{a-1}}$ ,写到这一步，有人可能想到在加减法中使用等价无穷小，把-sint 换成-t来做，但是这个结论是有条件的：代换之后的数不能等价：

而这里 $\lim_{}\frac{-t}{te^{-\frac{t^{2}}{2}}}=-1$ 是等价的，所以这里不能同价代换。接着洛必达也很麻烦，那接下来怎么做呢？

我们说：有条件要上，没有条件创造条件也要上。这里使用+t -t来构建式子。

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{-sint+e^{-\frac{t^{2}}{2}}t}{at^{a-1}}=$ $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t-sint+e^{-\frac{t^{2}}{2}}t-t}{at^{a-1}}$ $=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t-sint+(e^{-\frac{t^{2}}{2}}-1)t}{at^{a-1}}$ ,

分子使用泰勒展开:

$t-sint=\frac{1}{6}t^{3}$ $e^{-\frac{t^{2}}{2}}-1=-\frac{t^{2}}{2}$ ;

整理得：

,分子两项显然不等价，可以代换。

要想极限存在，a-1=3，a=4，答案得解。

二：泰勒公式

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}$ $=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{4}}{4!}-(1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{\frac{t^{4}}{4}}{2})+o(t^{4})}{t^{a}}$ $=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{t^{4}}{4!}-\frac{t^{4}}{8}+o(t^{4})}{t^{a}}$ $=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{t^{4}}{12}+o(t^{4})}{t^{a}}$

a=4;

前面两种是直接法，我们知道选择题还有一种方法是排除法。

三：排除法

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}$ ，分子是偶函数，偶函数在0点的泰勒展开式是偶次项，不可能是奇数项。因为分母要除以一个a次项，所以a只能是偶数，排除B和D。

A选项比较好计算，先看a对不对。将a=2带入到式子中去。

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{2}}$

$=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-1+1-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{2}}$

$=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-1}{t^{2}}$ $+\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{2}}$ （注意：这里要拆开不能直接无穷小替换，因为两个替换后的值相除极限为-1，是等价的，为什么前面不用-1+1来做，是因为这里分母的次数是2是确定的，拆开后极限依然存在，所以要拆开。）