函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)dx ∫abf(x)dx
随机变量 X i ∼ p ( x ) X_{i} \sim p(x) Xi∼p(x)
得到蒙特卡洛积分为 F N = 1 N ∑ i = 1 N f ( X i ) p ( X i ) F_{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f(X_{i})}{p(X_{i})} FN=N1∑i=1Np(Xi)f(Xi)
二、路径追踪 Path tracing
1.Whitted-Style Ray Tracing’s Problems
只处理镜面或者透明物体的反射和折射，在漫反射时就停止了，忽略了物体之间的反射
在glossy金属材质时，不应该全部都反射
但是 渲染方程是对的
L r ( p , ω r ) L_{r}(p, ω_{r}) Lr(p,ωr) = L e ( p , ω o ) L_{e}( p, ω_{o}) Le(p,ωo) + ∫ Ω + L r ( p , − ω i ) f r ( p , ω i , ω r ) ( n ⋅ ω i ) d w i \int_{Ω^+}^{} L_{r}( p , -ω_{i}) f_{r}( p , ω_{i} ,ω_{r}) ( n \cdot ω_{i})dw_{i} ∫Ω+Lr(p,−ωi)fr(p,ωi,ωr)(n⋅ωi)dwi
2.只考虑直接光照时
L o ( p , ω o ) L_{o}(p, ω_{o}) Lo(p,ωo) = ∫ Ω + L i ( p , ω i ) f r ( p , ω i , ω o ) ( n ⋅ ω i ) d w i \int_{Ω^+}^{} L_{i}( p , ω_{i}) f_{r}( p , ω_{i} ,ω_{o}) (n\cdotω_{i})dw_{i} ∫Ω+Li(p,ωi)fr(p,ωi,ωo)(n⋅ωi)dwi 用蒙特卡罗积分求解 F N = 1 N ∑ i = 1 N f ( X i ) p ( X i ) F_{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f(X_{i})}{p(X_{i})} FN=N1∑i=1Np(Xi)f(Xi)
f(x) 是 L i ( p , ω i ) f r ( p , ω i , ω o ) ( n ⋅ ω i ) L_{i}(p,ω_{i})f_{r}(p,ω_{i},ω_{o})(n\cdotω_{i}) Li(p,ωi)fr(p,ωi,ωo)(n⋅ωi)
pdf（概率密度函数）是 “对半球进行采样” p ( ω i ) = 1 2 Π p(ω_{i}) = \frac{1}{2Π} p(ωi)=2Π1
得到式子 L o ( p , ω o ) L_{o}(p, ω_{o}) Lo(p,ωo) = 1 N ∑ i = 1 N L i ( p , ω i ) f r ( p , ω i , ω o ) ( n ⋅ ω i ) p ( ω i ) \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{L_{i}(p,ω_{i})f_{r}(p,ω_{i},ω_{o})(n\cdotω_{i})}{p(ω_{i})} N1∑i=1Np(ωi)Li(p,ωi)fr(p,ωi,ωo)(n⋅ωi) 是正确的直接光照公式
3.考虑全局光照
①考虑物体的反射光
Q同样也反射光线到P上（方向上也相当于P到Q点的光）
Q 的直接光照 = Q 到 P 的反射
但是这样做光线会有 指数级增长
假设只有一根光线时（只选择一个方向 ω i ω_{i} ωi ）
但递归需要停止，不然计算量无限增加（但又想保证质量）—— 俄罗斯轮盘赌 RR
②俄罗斯轮盘赌 RR （得到正确shade函数）
通过随机概率选择是否继续追踪光线，可以有效地控制光线数量，并避免能量损失过多
实现步骤
设置一个概率 P
以概率 P 发射光线：若随机数＜ P，则发射并计算光线亮度 Lo
以概率 1-P 不发射光线：若随机数 ≥ P，不发射光线，认为亮度为0
能量补偿：由于第三步会导致能量损失，为了弥补损失，需要将得到的光线亮度 Lo 除以 P，即 Lo/P，可以保证期望值不变
渲染方程在立体角上的积分 Lo = ∫ L i ⋅ f r ⋅ c o s d ω \int Li\cdot fr\cdot cos dω ∫Li⋅fr⋅cosdω —— 这个积分代表场景中一点的亮度Lo 是半球上 所有方向的光线亮度和反射率的积分
为了使用蒙特卡洛积分来估计场景中一点的亮度Lo，我们需要将渲染方程转化为对光源的积分
数学的转化，需要找到 立体角 dω 和光源表面积 dA 之间的关系 —— 光源面积立体角方向在球面上的投影
立体角的求法：球面面积法 ω = S / r 2 ω = S/r^2 ω=S/r2 —— d ω = d A c o s θ ′ ∣ x ′ − x ∣ 2 dω = \frac{dA cosθ'}{|x'-x|^2} dω=∣x′−x∣2dAcosθ′
此时重写渲染方程 Lo = ∫ A L i ( x , ω i ) f r ( x , ω i , ω o ) c o s θ c o s θ ′ ∣ x ′ − x ∣ 2 d A \int_{A}^{} L_{i}( x, ω_{i}) f_{r}( x, ω_{i} ,ω_{o})\frac{cosθcosθ'}{|x'-x|^2}dA ∫ALi(x,ωi)fr(x,ωi,ωo)∣x′−x∣2cosθcosθ′dA
可以写出蒙特卡洛积分 f(x) = L i ( x , ω i ) f r ( x , ω i , ω o ) c o s θ c o s θ ′ ∣ x ′ − x ∣ 2 L_{i}( x, ω_{i}) f_{r}( x, ω_{i} ,ω_{o})\frac{cosθcosθ'}{|x'-x|^2} Li(x,ωi)fr(x,ωi,ωo)∣x′−x∣2cosθcosθ′，pdf = 1/A
