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一、向量及其线性运算

news 2025/9/13 20:41:14

🙌作者简介：数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师，分享学习经验、生活、努力成为像代码一样有逻辑的人！
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⭐ 高等数学专栏介绍：本专栏系统地梳理高等数学这门课的知识点，参考书主要为经典的同济版第七版《高等数学》以及作者在高校使用的《高等数学》系统教材。梳理《高等数学》这门课，旨在帮助那些刚刚接触这门课的小白以及需要系统复习这门课的考研人士。希望自己的一些经验能够帮助更多的人。

文章目录

向量的概念
向量的线性运算
空间直角坐标系

向量的概念

向量：既有大小又有方向的量（又称矢量）
表示法：有向线段 $M1M2→\overrightarrow{M_1M_2}$ 或 $a→\overrightarrow{a}$
向径(矢径）：起点为原点的向量
自由向量：与起点无关的向量
向量的模：向量的大小，记作 $∣M1M2→∣|\overrightarrow{M_1M_2}|$ 或 $∣a→∣|\overrightarrow{a}|$
单位向量：模为1的向量
零向量：模为0的向量，记作 $0→\overrightarrow{0}$ ,或0
向量相等：若向量 $a→\overrightarrow{a}$ 与 $b→\overrightarrow{b}$ 大小相等，方向相同，记作 $a→=b→\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$
负向量：与模相同，方向相反向量，记作 $−a→-\overrightarrow{a}$
向量共线： 由于平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线.
向量共面： 若 $k(≥3)k(\geq 3)$ 个向量经平移可移到同一平面上，则称此 $k$ 个向量共面.

向量的线性运算

向量的加法
运算法则：满足平行四边形法则和三角形法则
注：三角形法则可推广到多个向量相加
运算规律：
①交换律 $a→+b→=b→+a→\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
②结合律 $(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
向量的减法
运算法则：满足三角形法则
注：三角不等式关系（由三角形边长关系可证）
向量的数乘
$λ{\lambda}$ 是一个数， $λ{\lambda}$ 与 $a→\overrightarrow{a}$ 的乘积是一个新向量，记作 $λa→\lambda\overrightarrow{a}$
规定： $λ>0{\lambda>0}$ 时， $λa→\lambda\overrightarrow{a}$ 与 $a→\overrightarrow{a}$ 同向， $∣λa→∣|\lambda\overrightarrow{a}|$ = $λ∣a→∣\lambda|\overrightarrow{a}|$ ；
$λ<0{\lambda<0}$ 时， $λa→\lambda\overrightarrow{a}$ 与 $a→\overrightarrow{a}$ 反向， $∣λa→∣|\lambda\overrightarrow{a}|$ =- $λ∣a→∣\lambda|\overrightarrow{a}|$ ；
$λ=0{\lambda=0}$ 时， $λa→\lambda\overrightarrow{a}$ = $0→\overrightarrow{0}$ .
总之： $∣λa→∣|\lambda\overrightarrow{a}|$ = $∣λ∣∣a→∣|\lambda||\overrightarrow{a}|$
运算规律：
①结合律： $λ(μ)a→\lambda(\mu)\overrightarrow{a}$ = $μ(λa→)\mu(\lambda\overrightarrow{a})$ = $λμa→\lambda\mu\overrightarrow{a}$
②分配律： $（λ+μ)a→（\lambda+\mu)\overrightarrow{a}$ = $λa→+μa→\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}$
$λ(a→+b→)\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ = $λa→+λb→\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}$

注：若 $a→≠0→\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$ ，则有单位向量 $a→°=a→∣a→∣\overrightarrow{a}^{°}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ .因此 $a→\overrightarrow{a}$ = $∣a→∣|\overrightarrow{a}|$ $a→°\overrightarrow{a}^{°}$

向量共线定理：设 $a→\overrightarrow{a}$ 为非零向量，则 $a→∥b→\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$ $⟺\Longleftrightarrow$ $b→\overrightarrow{b}$ = $λa→\lambda\overrightarrow{a}$ （ $λ\lambda$ 为唯一实数）.