数学分析复习：振荡型级数的收敛判别
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- 振荡型级数的收敛判别
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
振荡型级数的收敛判别
直观上，振荡型级数说的是级数各项有正有负，求和的时候可以相互抵消，故可能收敛
命题：Abel求和公式
设复数列 { a k } k ≥ 1 \{a_k\}_{k\geq 1} {ak}k≥1 和 { b k } k ≥ 1 \{b_k\}_{k\geq 1} {bk}k≥1，则
∑ k = 1 n a k b k = S n b n + ∑ k = 1 n − 1 S k ( b k − b k + 1 ) \sum\limits_{k=1}^na_kb_k=S_nb_n+\sum\limits_{k=1}^{n-1}S_k(b_k-b_{k+1}) k=1∑nakbk=Snbn+k=1∑n−1Sk(bk−bk+1)
其中 S n = ∑ k = 1 n a k S_n=\sum\limits_{k=1}^na_k Sn=k=1∑nak 表示部分和
证明
只需将 a k a_k ak 替换为 S k − S k − 1 S_k-S_{k-1} Sk−Sk−1，然后合并同类项即可
注：该公式即为离散版本的分部积分公式
命题：Dirichlet判别法
设实数列 { a k } , { b k } \{a_k\},\{b_k\} {ak},{bk}， S n S_n Sn 表示 { a k } \{a_k\} {ak} 的部分和，若
- { b k } \{b_k\} {bk} 是单调数列且 lim k → ∞ b k = 0 \lim\limits_{k\to\infty}b_k=0 k→∞limbk=0
- 存在 M M M，使得对任意 n ≥ 1 n\geq 1 n≥1， ∣ S n ∣ ≤ M |S_n|\leq M ∣Sn∣≤M
则级数 ∑ k = 1 a k b k \sum\limits_{k=1}^{a_kb_k} k=1∑akbk 收敛
证明思路（级数的Cauchy收敛准则）
不妨假设 { b k } \{b_k\} {bk} 单调递减，由 abel 求和法，任取 m ≥ n m\geq n m≥n，有
∣ ∑ k = n + 1 m a k b k ∣ = ∣ ( S m b m − S n b n ) + ∑ k = n m − 1 S k ( b k − b k + 1 ) ∣ ≤ M ∣ b m − b n ∣ + ∣ M ∣ ∣ ∑ k = n m − 1 ( b k − b k + 1 ) ∣ = 2 M ( b n − b m ) < ε \begin{split} |\sum\limits_{k=n+1}^ma_kb_k|&=|(S_mb_m-S_nb_n)+\sum\limits_{k=n}^{m-1}S_k(b_k-b_{k+1})|\\ &\leq M|b_m-b_n|+|M||\sum\limits_{k=n}^{m-1}(b_k-b_{k+1})|\\ &=2M(b_n-b_m)<\varepsilon \end{split} ∣k=n+1∑makbk∣=∣(Smbm−Snbn)+k=n∑m−1Sk(bk−bk+1)∣≤M∣bm−bn∣+∣M∣∣k=n∑m−1(bk−bk+1)∣=2M(bn−bm)<ε
推论：Abel判别法
设实数列 { a k } , { b k } \{a_k\},\{b_k\} {ak},{bk}，若
- { b k } \{b_k\} {bk} 单调有界
- 级数 ∑ k = 1 ∞ a k \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k k=1∑∞ak 收敛
则级数 ∑ k = 1 ∞ a k b k \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kb_k k=1∑∞akbk 收敛
证明思路
设 b = lim k → ∞ b k b=\lim\limits_{k\to\infty}b_k b=k→∞limbk，则有
∑ k = 1 ∞ a k b k = ∑ k = 1 ∞ a k ( b k − b ) + b ∑ k = 1 ∞ a k \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kb_k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k(b_k-b)+b\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k k=1∑∞akbk=k=1∑∞ak(bk−b)+bk=1∑∞ak
等号右端第一个级数用Dirichlet判别法立得
参考书：
- 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
- 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著