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Leetcoder Day21｜回溯理论基础+组合

news 2025/9/11 22:47:51

语言：Java/Go

回溯理论基础

回溯函数也就是递归函数；

所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构；

回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。

适用的题目类型：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

组合无序，排列有序

回溯法解题模板

回溯函数返回值及参数：回溯算法中函数返回值一般为void。需要什么参数，就填什么参数
```
void backtracking(参数)
```

回溯函数终止条件：一般搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。
```
if (终止条件) {存放结果;return;
}
```

回溯搜索的遍历过程上图中，集合大小和孩子的数量是相等的，for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了
```
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果
}
```

因此，回溯算法模板框架如下：

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：
输入：n = 4, k = 2
输出：
[[2,4],[3,4],[2,3],[1,2],[1,3],[1,4],
]

组合的题目如果单纯的采用for循环暴力求解，k越大，for嵌套层数就越多很崩溃。因此采用回溯算法，当然，回溯算法本身也是暴力求解，但胜在书写方便。其原理是用递归来解决嵌套层数的问题。每一次的递归中嵌套一个for循环，就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。

因此把上面的组合问题抽象为如下树形结构：

这棵树一开始集合是 1，2，3，4，从左向右取数，取过的数，不再重复取。第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。n相当于树的宽度，k相当于树的深度，图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

因此首先确定回溯三部曲：

递归函数的返回值以及参数：首先要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合；函数里有n和k两个int型的参数；还需要一个参数，为int型变量startIdx，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历。startIdx 是防止出现重复的组合。在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIdx。用startIdx来记录下一层递归，搜索的起始位置。

回溯函数终止条件：path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。
单层搜索的过程：for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i；backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。然后进行回溯，撤销本次处理的结果，便于进行下一次递归。

剪枝优化

如果n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

看一下优化过程如下：

已经选择的元素个数：path.size();
还需要的元素个数为: k - path.size();
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3，目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

所以优化之后的for循环是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置

class Solution {List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();public void backTracking(int n, int k, int startIdx){//startIdx标志从哪开始循环if(path.size()==k){res.add(new ArrayList<>(path));return;}for(int i=startIdx;i<=n-(k-path.size())+1;i++){//剪枝path.add(i);backTracking(n,k,i+1);  //递归path.removeLast();}}    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {backTracking(n,k,1);return res;}
}