数字信号处理：傅里叶分析
本文主要参考视频如下：
数字信号处理9-1_线性时不变系统对复指数信号的响应_哔哩哔哩_bilibili
傅里叶分析的主要研究内容如下所示：
注意，计算机中使用的离散傅里叶变换并不是离散时间傅里叶变换；
前四种都是理论上的变换方式，最后一种是计算机应用中的变换方式。
连续时间周期信号的傅里叶级数
要注意，连续时间周期信号的傅里叶级数是一个离散的结果，是一系列谐波的离散组合。
理论上，任何一个周期信号都可以进行傅里叶级数的分解，但是不一定能收敛，所以一般只有满足狄利赫里条件的周期信号才能展开成傅里叶级数。
满足狄利赫里条件时，在不连续的点处会出现吉布斯现象
连续时间非周期信号的傅里叶变换
注意，连续时间非周期信号的傅里叶变换是一个频率密度的概念，是一个连续的函数，以w为自变量
频谱越来越密。
逆变换到时域
周期信号的傅里叶级数也可以统一到傅里叶变换
注意，傅里叶级数的结果是频谱，傅里叶变换的结果是频谱密度。
连续时间傅里叶变换的性质
1、共轭和共轭对称性
2
3
4
如果时域卷积不方便计算，可以转换成对应频率的相乘。
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离散时间周期信号的傅里叶级数
注意下，连续时间周期信号的傅里叶级数是一个无穷级数；
离散时间周期信号的傅里叶级数只需要在一个周期上展开即可；
举个例子
离散时间周期信号的频谱是周期延拓的
存在性
可见，任何离散时间周期信号的傅里叶级数必定存在，不需要满足什么额外条件；
离散时间非周期信号的傅里叶变换
逆变换
存在性
频谱密度图像是以2π为周期进行周期沿拓的
离散时间周期信号也可以统一到傅里叶变换
举个例子
离散时间傅里叶变换的性质
以上几种傅里叶变换的对比
图像化理解
离散傅里叶变换DFT
离散傅里叶变换是基于离散时间周期信号的傅里叶级数的，是计算机处理信号的方式。
它是暴力地将离散信号的长度N0就看做周期为N0的离散时间周期信号，然后计算其DFS，但是相比DFS会少一个系数，需要我们手动处理，这就是DFT
这种简单粗暴的方式是否合理呢？给一颗定心丸，肯定是合理的。
举个例子
再举个实际的例子
快速傅里叶变换FFT
FFT其实就是DFT的快速算法
DFT的计算量
具体实现过程可参考这个视频
数字信号处理13-2_快速傅里叶变换（FFT）-降低运算量的基本思路_哔哩哔哩_bilibili
不在此赘述了
频谱泄漏和窗函数
举个实例来说明什么是频谱泄漏
假如刚好采集到一个周期，那么就能反应真实情况
但是如果信号本身就没有周期呢？或者采集的不到一个周期或者超过一个周期呢？就有误差了。
还原回去看下
如何减弱频谱泄漏的影响
实际中，窗函数一般不这么用，在滤波器设计中用得比较多。
