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约数个数和约数之和算法总结

news 2025/8/10 22:40:01

知识概览

约数个数

基于算数基本定理，假设N分解质因数的结果为

$N = p_1^{\alpha_{1}}p_2^{\alpha_{2}} \cdots p_k^{\alpha_{k}}$

可得对于N的任何一个约数d，有

$d = p_1^{\beta_{1}}p_2^{\beta_{2}} \cdots p_k^{\beta_{k}}, 0\leqslant \beta_{i}\leqslant \alpha_{i}$

因为N的每一个约数和 $\beta_{1}$ ~ $\beta_{k}$ 的一种选法是一一对应的，根据乘法原理可得，

一个数的约数个数为

$(\alpha_{1} + 1)(\alpha_{2} + 1) \cdots (\alpha_{k} + 1)$

约数之和

一个数的约数之和公式为

$(p_1^{0} + p_1^{1} + \cdots + p_1^{\alpha_1})\cdots (p_k^{0} + p_k^{1} + \cdots + p_k^{\alpha_k})$

多项式乘积的每一项为

$p_1^{\beta_{1}}p_2^{\beta_{2}} \cdots p_k^{\beta_{k}}$

正好对应的是一个数的每一个约数。

例题展示

约数个数

题目链接

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/872/

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>using namespace std;typedef long long LL;const int mod = 1e9 + 7;int main()
{int n;cin >> n;unordered_map<int, int> primes;while (n--){int x;cin >> x;for (int i = 2; i <= x / i; i++)while (x % i == 0){x /= i;primes[i]++;}if (x > 1) primes[x]++;}LL res = 1;for (auto prime : primes) res = res * (prime.second + 1) % mod;cout << res << endl;return 0;
}

约数之和

题目链接

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/873/

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>using namespace std;typedef long long LL;const int mod = 1e9 + 7;int main()
{int n;cin >> n;unordered_map<int, int> primes;while (n--){int x;cin >> x;for (int i = 2; i <= x / i; i++)while (x % i == 0){x /= i;primes[i]++;}if (x > 1) primes[x]++;}LL res = 1;for (auto prime : primes){int p = prime.first, a = prime.second;LL t = 1;while (a--) t = (t * p + 1) % mod;res = res * t % mod;}cout << res << endl;return 0;
}