期权定价模型系列【7】：Barone-Adesi-Whaley定价模型
期权定价模型系列第7篇文章
1.前言
目前大连商品交易所、郑州商品交易所、以及上海期货交易所的所有商品期权都为美式期权，并且大商所的所有期权合约会根据BAW(Barone-Adesi-Whaley)美式期权定价模型计算新上市期权合约的挂牌基准价。
BAW模型(Barone-Adesi and Whaley, 1987)使用了求二次近似解的方法来定价美式期权，相对其他的如Finite-Difference方法和Compound-Option方法更加简单，计算更高效。在Barone-Adesi and Whaley(1987)的论文中，BAW模型所定价的期权标的可适用于商品及商品期货，在1987年美国市场上的期权大部分也是美式商品期货期权。
在看涨期权定价过程中，当持有成本(Cost of Carry)大于无风险利率时，美式期权与欧式期权的价值相同，美式期权可以一直持有至到期再行权，因此可以用BSM(Black-Scholes Model)模型定价，但是当持有成本小于无风险利率，则美式期权价值得以体现。在看跌期权定价过程中，不管持有成本与无风险利率关系如何，美式期权提早行权都有所价值，例如期权标的价格显著低于行权价的情况。
因此，美式期权定价的关键思路便是将期权分离：一方面是欧式期权价格，另外一方面是合约提前实施条款所增付的补偿价格(Premium)。
2.美式看涨期权
其中S为标的当前价格，X为行权价，b为持有成本(Cost of Carry)，σ为定价所假设的波动率，r为无风险利率，T为距离到期时间。
3.美式看跌期权
看涨和看跌期权的S*和S**可以用Newton-Raphson近似解方法找到，推导出近似解的方程如下
由于在迭代过程中，左边与右边最开始并不相等，因此我们先从右边方程对Si求偏导(Put用Sj表示，实质是一样的，以下我们都用Si表示)，斜率bi用表示，再从S1进行迭代。最终当左边与右边等式满足最小容忍度后，我们将最后的Si作为近似解。过程如下：
看涨期权：
看跌期权：
想令Si通过迭代的方法快速得到，我们可以令T趋向于无穷来选取S1*和S1**作为起始点，这样的起始点更加贴合近似解。公式如下：
4.python复现
5.参考资料：
【中信建投】美式期权定价（二）：Barone-Adesi-Whaley定价模型