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算法|Day49 动态规划17

news 2025/6/28 1:46:18

LeetCode 647- 回文子串

题目链接：力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

题目描述：给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

解题思路

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

可能上来就会想dp[i][j]定义成，在这个范围内回文子串的个数，这样定义不好找递推关系，定义成dp[i][j] 表示s在下标[i,j]区间内，是否为回文串。可以很容易找到递推关系，也就是dp[i][j]是否是回文子串我们只需要先判断s[i] 是否等于s[j]，然后在看dp[i+1][j-1]也就是缩小范围后是否是回文子串，就能推出dp[i][j]

确定递推公式

首先分两种情况，当前字符相等和不相等，

不相等时我们不做处理，在初始化的时候将所有值都设置为false。

若相等，则需要分三种情况

- 情况一：i和j的差值为0，也就是指向同一个字符a，一定是回文子串，也就是dp[i][j] = true
- 情况二：i和j的差值为1,也就是这俩字符相等且其中没有别的字符如aa,也就是dp[i][j] = true
- 情况三：i和j的差值大于1，也就是中间有很多字符，这时我们就需要判断其子串是否为回文串了，也就是看dp[i+1][j-1]是否为真，为真则dp[i][j] = true，否则不处理。

故递推公式就是：

if (s[i] == s[j]) {if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二result++;dp[i][j] = true;} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三result++;dp[i][j] = true;}
}

dp数组如何初始化

由于我们开始不知道哪些是回文串，所以dp数组在最开始我们全部都初始化为false。

确定遍历顺序

依据递推公式我们可以看出，每次更新我们都是从左下角往右更新，所以我们从下往上，从左往右遍历dp数组来更新。

举例推导dp数组

class Solution {
public:int countSubstrings(string s) {vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));int result = 0;for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序for (int j = i; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j]) {// 当前字符相等后才来判断i j 差值，也就是判断中间是否有别的字符if (j - i <= 1) { result++;dp[i][j] = true;} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三result++;dp[i][j] = true;}}}}return result;}
};

总结：

这题的dp数组定义，需要思考一下，我们一般都直观的定义为题目需要求解的答案。而这题是定义成了是否为回文串，因为这样才能找到递推的规律。以后做题要注意，动态规划需要找递推公式这样想着来定义dp数组。

LeetCode 516.最长回文子序列

题目链接：力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

题目描述：给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

解题思路

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：s字符串在[i,j]区间内最长回文子串的长度。

2.确定递推公式

我们需要分情况讨论，首先字符串1与字符串2当前字符相等或不等的情况，

相等，则不进行操作。也就是dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 2图示：

不相等时有两种情况，我们取其中的最大值故

dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

3.dp数组如何初始化

当 i == j的时候值为1，其余全部都为0，也就是每个字符串本身是回文子串，其余的全部默认为0。

4.确定遍历顺序

依据递推公式我们可以看出，dp[i][j]是由左下角的状态推导而来，故我们应该从下往上，从左往右遍历

5.举例推导dp数组

class Solution {
public:int longestPalindromeSubseq(string s) {vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j]) {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;} else {dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[0][s.size() - 1];}
};

总结：