1.排序算法分类

• **比较类算法排序：**通过比较来决定元素的时间复杂度的相对次序，由于其时间复杂度不能突破 $O(nlogn)$，因此也称为非线性时间比较类算法

• **非比较类算法排序：**不通过比较来决定元素间的相对次序，它可以突破基于比较排序的时间下界，以线性时间运行。

排序算法

2.排序算法性能指标

排序方法	时间复杂度（平均）	时间复杂度（最坏）	时间复杂度（最好）	空间复杂度	稳定性
插入排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n)$	$O(1)$	稳定
希尔排序	$O(n^{2/3})$	$O(n^2)$	$O(n)$	$O(1)$	不稳定
选择排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(1)$	不稳定
堆排序	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(1)$	不稳定
冒泡排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n)$	$O(1)$	稳定
快速排序	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(n^2)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	不稳定
归并排序	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(n)$	稳定

2.分治算法

二分: binarySearch 又叫 折半查找 是对有单调性质的数列进行查找
二分的复杂度很低，达到了 $O(lo{g}_n)$ 的复杂度

模板1：

int lb=MIN,rb=MAX;
int ans=-1;
while(lb<=rb)
{int mid=(lb+rb)/2;if(check(mid)){ans=mid;lb=mid+1;}else{rb=mid-1;}printf("%d\n",ans);
}

模板2：

int lb=MIN,rb=MAX;
int mid;
while(l<r)
{mid=(lb+rb)/2;if(check(mid)){lb=mid;}else{rb=mid-1;}
}
return lb;

满足最小值的模板：

模板一：

int lb=MIN,rb=MAX;
int ans=-1;
while(lb<=rb)
{int mid=(lb+rb)/2;if(check(mid)){ans=mid;rb=mid-1;}else{lb=mid+1;}printf("%d\n",ans);
}

模板二：

int lb=MIN,rb=MAX;
int mid;
while(l<r)
{mid=(lb+rb)/2;if(check(mid)){rb=mid;}else{lb=mid+1;}
}
return rb;

3.倍增算法

(1)快速幂

最常见的 $x^y\mathrm{mod}m$

typedef long long ll;
ll mypow(ll x,ll y,ll m)
{ll ans=1%m;for(;y;y>>1){if(y&1) ans=ans%x*m;x=x*x%m;}return ans;
}

5.搜索

(1)深度优先搜索

深度优先搜索算法（英语：Depth-First Search，简称DFS）是一种用于遍历或搜索树或搜索图的算法。

深度优先搜索是一种在开发爬虫早期使用较多的方法。它的目的是要达到被搜索结构的叶结点(即那些不包含任何超链的HTML文件) 。在一个HTML文件中，当一个超链被选择后，被链接的HTML文件将执行深度优先搜索，即在搜索其余的超链结果之前必须先完整地搜索单独的一条链。深度优先搜索沿着HTML文件上的超链走到不能再深入为止，然后返回到某一个HTML文件，再继续选择该HTML文件中的其他超链。当不再有其他超链可选择时，说明搜索已经结束。

代码框架：

void dfs(int k)//k:当前顶点
{if(/*找到解 或者 没有可访问的顶点*/){printf("%d",/*输出解*/);return ;}for(int i=1;i<=/*搜索分枝*/;i++){/*标记该顶点已访问*/;dfs(/*下一个顶点*/);/*还原该顶点的状态*/;}
}

(2)广度优先遍历

广度优先搜索算法（Breadth-First Search,BFS）是一种通过逐层遍历所有访问对象，从而通过最短节点数到大目标的算法。

代码框架：

void bfs()
{/*初始节点入队*/;while(/*队列非空*/){/*队头元素出队*/,/*赋给 current*/;while(/*current 还可以扩展*/){/*由节点 current 扩展出新节点 new*/;if(/*new 重复于已有的节点状态*/) continue;/*new 节点入队*/if(/*new 节点是目标状态*/){/*置 flag=true*/;break;}}}
}

6.动态规划（DP）

(1)线性动态规划

• 最大子段和

给出一段序列，选出其中连续且非空的一段使得这一段和最大。

输入格式

第一行是一个整数 $n$ ，表示了序列的长度

第二行是包含 $n$ 个绝对值不大于 $10000$ 的整数 $a_i$ ，描述了这段序列。

输出格式

一个整数，为最大的字段和是多少。

字段的最小长度为1.

样例输入

7

2 -4 3 -1 2 -4 3

样例输出

4

核心代码：

int a[N];
int dp[N];
for(int i=1;i<=n;i++)
{dp=max(dp[i-1]+a[i],a[i]);ans=max(ans,dp[i]);
}

• 最长上升子序列

一个树的序列 $b_i$ ，当 $b_1<b_2<b_3<...<b_s$ 的时候，我们称这个序列是上升的。

对于给定的一个序列（ $a_1,a_2,a_3,...,a_n$）我们可以得到一些上升子序列 $a_{i1},a_{i2},a_{i3},...,a_{ik}$ ，这里 $1\le i_1<i_2<i_3<...<i_q\le N$

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升序列的长度。

输入格式

输入的第一行是序列的长度 $n(1\le n\le 1000)$。

第二行给出的序列中的 $n$ 个整数，这些整数的取值范围都在0到10000.

输出格式

最长上升子序列的长度。

样例输入

7

1 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

核心代码：

int a[N];
int dp[N];
for(int i=1;i<=n;i++)
{dp[i]=1;//附初值for(int j=1;j<i;j++){if(a[j]<a[i])//dp找最大值{dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);}}ans=max(ans,dp[i]);
}

• 最长公共子序列

给定两个字符串 $x,y$ ，长度不超过5000，求出两个序列的最长公共子序列。

**注意：**子序列不是字串，不要求连续。

输入格式

第一行一个字符串，表示字符串 $x$ ，第二行一个字符串，表示字符串 $y$。

输出格式

一个整数，表示最长的公共子序列长度。

样例输入

cnblogs

belong

样例输出

4

核心代码：

int c[N][N];
int len1,len2;
len1=strlen(x+1);
len2=strlen(y+1);
for(int i=1;i<=len1;i++)
{for(int j=1;j<len2;j++){if(x[i]==y[i]){c[i][j]=a[i-1][j]+1;}else{c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i][j-1]);}}
}

(2)矩阵类动态规划

• 数字三角形

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查看从最高点到最低部任意处结束路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以走到右下方的点。

 73 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

在上面的样例中，从 7→3→8→7→5 的路径产生了最大和，为30.

输入格式

第一行一个正整数 $r$ ，表示行的数目。

后面每一行为这数字金字塔特定包含的整数。

输出格式

单独一行，包含那可能得到的最大的和。

样例输入：

5

7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

样例输出：

30

核心代码：

int dp[N][N];
for(int j=1;j<=r;j++)
{dp[r][j]=a[r][j];
}
for(int i=r-1;i>=1;i--)
{for(int j=1;j<=i;j++){dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];}
}

(3)背包问题

背包问题（Knapsack problem）可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

背包问题又分为：01背包、完全背包、多重背包。此外，还存在一些其他考法，例如恰好装满、求方案总数、求所有的方案等。

• 01背包

01背包的特点就是一个物品要不就选，要不就不选，分别表示1和0，所以叫01背包。

用 dp[i][j] 表示将前 $i$ 个物品放入载重为 $j$ 的背包能获得的最大价值，w[i] 表示第 $i$ 件物品的重量，v[i] 表示第 $i$ 件物品的价值，则可以用一下状态转移式来表示这个过程：

当 w[i]>j （也即第 $i$ 件物品不能放入载重为 $j$ 的背包）时：

dp[i][j]=dp[i-1][j];

否则（也即第 $i$ 件物品能放入载重为 $j$ 的背包）

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);

注意到 dp 数组和第 $i$ 行的值更新只跟 $i-1$ 行有关，因此可以通过滚动数组结合反向更新的方式优化一下空间复杂度，在动态规划解题的时候这是一种常用的空间复杂度优化方式

二维写法

for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=0;j<=c;j++){if(j<w[i]){dp[i][j]=dp[i-1][j];}else{dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);}}
}

滚动数组优化

for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=c;j>=0;j++){if(j>=w[i]){dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);}}
}

• 完全背包

完全背包的特点是每个东西都可以随便拿（指数量：$\infty$）

用 dp[i][j] 表示将前 $i$ 个物品放入载重为 $j$ 的背包能获得的最大价值，w[i] 表示第 $i$ 件物品的重量， v[i] 表示第 $i$ 个物品的价值，则可以用以下的状态转移方程式来表示这个过程：

当 w[i]>j （也即第 $i$ 件物品不能放入载重为 $j$ 的背包）

dp[i][j]=dp[i-1][j];

否则（也即第 $i$ 件物品能放入载重为 $j$ 的背包）

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);

注意如果用滚动数组的话，我们需要使用正向更新方式，这是唯一和上面的01背包问题的区别的地方。

二维写法

for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=0;j<=c;j++){if(j>=w[i]){dp[i][j]=max(dp[i-1][j],d[i][j-w[i]]+v[i]);}else{dp[i][j]=dp[i-1][j];}}
}

滚动数组优化

for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=0;j<=c;j++){if(j>=w[i]){dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);}}
}

• 多重背包

多重背包的特点是每种物品的数量不知一个，但有限。

用 dp[i][j] 表示将前 $i$ 件物品放入载重为 $j$ 的背包能获得的最大价值，w[i] 表示第 $i$ 件物品的重量，v[i] 表示第 $i$ 件物品的价值，s[i] 表示第 $i$ 种物品的数量，则可以用以下的状态转移方程式来表示这个过程：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i],0<=k<=s[i]);

在多重背包的计算中，可以使用二进制优化来减小时间复杂度。

for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=0;j<=c;j++){for(int k=0;k<=s[i];k++){if(j>=k*w[i]){dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);}}}
}