Power of Heroes 英雄的力量

问题描述：

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它表示英雄的能力值。如果我们选出一部分英雄，这组英雄的 力量 定义为：

$i_0，i_1，...i_k$ 表示这组英雄在数组中的下标。那么这组英雄的力量为 $max(nums[i_0],nums[i_1]...nums[i_k])2\ast m{i}_n(nums[i_0],nums[i_1]...nums[i_k])$ 。
请你返回所有可能的 非空 英雄组的 力量 之和。由于答案可能非常大，请你将结果对 10^9 + 7 取余。

$$\begin{gathered} 1<=nums.length<=10^5 \\ 1<=nums[i]<=10^9 \end{gathered}$$

分析

一次周赛的hard，当时没时间做。

一开始没看清问题的意思，以为要计算子数组，而实际上是要求子集。

子集也可以认为是原数组的一个子序列，虽然这个说法不是很严谨。

假如有一个子序列，这个子序列的$power$就是$max\ast max\ast min$.

暴力

如果是使用暴力的方式，就是枚举所有的子序列然后对每个子序列进行找$max，min$。
以当前数组的规模，可能有$2^{100000}$个子序列，很明显这样不可能，即使可以枚举出所有的子序列，在计算power的过程中的时间复杂度也是$O(L)$,和子序列的长度有关。

既然是找最大和最小，那就先排序，从小到大。因为是找子序列，所以排个序，不会影响最终结果。

假设区间$[j,i],i>j$,那么必然$a[i]>=a[j]$，此时以$a[i]$为最大的子序列，就可以计算出来,即$2^i$个,从左向右计算:

• $a[0]$为$min$时，可以与$a[i]$构造的序列数量为 $2^{i-1}$，它们可以为最终的ans提供 $a[0]\ast a[i]\ast 2^{i-1}$.

同理可以计算得到

• $a[1]\ast a[i]\ast 2^{i-2}$.
• $a[2]\ast a[i]\ast 2^{i-3}$.
• $a[3]\ast a[i]\ast 2^{i-4}$.
  …
• $a[i-2]\ast a[i]\ast 2^{i-1-i+2}$
• $a[i-1]\ast a[i]\ast 2^{i-1-i+1}$

最后还要补一个 $a[i{]}^3$，单个的也要算。

到此以a[i]为最大的所有子序列的power都可以计算出。
$$\begin{gathered} p[i]=a[i{]}^3+a[0]\ast a[i]\ast 2^{i-1}+a[1]\ast a[i]\ast 2^{i-2}+..+a[i-1]\ast a[i]\ast 2^{i-1-i+1} \\ p[i]=a[i]\ast (a[i{]}^2+a[0]\ast 2^{i-1}+a[1]\ast 2^{i-2}+..+a[i-1]\ast 2^{i-1-i+1}) \end{gathered}$$

如果此时让k = i+1,即右移一位

$$p[k]=a[k]\ast (a[k{]}^2+a[0]\ast 2^{i-1}\ast 2+a[1]\ast 2^{i-2}\ast 2+..+a[i-1]\ast 2^{i-1-i+1}\ast 2+a[i])$$
由于右端点的移动，新增了1位a[k],导致一部分同时乘2。
假设计算下标 $i$时 令 $S_i=a[0]\ast 2^{i-1}+a[1]\ast 2^{i-2}+..+a[i-1]\ast 2^{i-1-i+1}$
那么 $p[i]=a[i]\ast (a[i{]}^2+S_i)$

而当计算下标$k$时，不需要重复计算 这一部分S，而是可以通过前一个i的S，来计算出当前所需要的$S_k$。
$S_k=2\ast S_i+a[i-1]$
$p[k]=a[k]\ast (a[k{]}^2+S_k);$

计算过程中还需要注意取余

代码

Math

class Solution {long MOD = (long)1e9+7;public int sumOfPower(int[] nums) { Arrays.sort(nums);long sum = 0,s = 0;int n = nums.length;         for(int i=0;i<n;i++){long cur = ((long)nums[i])%MOD;long pow = (cur*cur)%MOD; sum = (sum + (pow*((cur +s)%MOD))%MOD)%MOD;s = ( 2*s + cur)%MOD; }return (int)sum;}
}

时间复杂度$O(NLogN)$

空间复杂度$O(LogN)$

Tag

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