系列文章目录

简介：Computer Graphics From Scratch-《从零开始的计算机图形学》简介
第一章: Computer Graphics From Scratch - Chapter 1 介绍性概念
第二章：Computer Graphics From Scratch - Chapter 2 基本光线追踪
第三章：Computer Graphics From Scratch - Chapter 3 光照
第四章：Computer Graphics From Scratch - Chapter 4 阴影和反射
第五章：Computer Graphics From Scratch - Chapter 5 扩展光线追踪
第六章：Computer Graphics From Scratch - Chapter 6 线条
第七章：Computer Graphics From Scratch - Chapter 7 实心三角形

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Shaded Triangle - 阴影三角形

In the previous chapter, we developed an algorithm to draw a triangle filled with a solid color. Our goal for this chapter is to draw a shaded triangle—that is, a triangle filled with a color gradient.

在上一章中，我们开发了一种算法来绘制填充有纯色的三角形。本章的目标是绘制一个带阴影的三角形，即一个填充有颜色渐变的三角形。

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一、Defining Our Problem - 定义我们的问题

我们想用单一颜色的不同色调填充三角形。它会看起来如图8-1. shades 色调

图8-1：一个着色的三角形

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我们需要一个更正式的定义来定义我们试图绘制的内容。我们有一个基色C：例如，$(0，255，0)$ 纯绿色。我们将为每个顶点分配一个实值 $h$，表示顶点处颜色的强度。$h$ 在 $[0.0，1.0]$ 范围内，其中 $0.0$ 表示最暗的阴影（即黑色），$1.0$ 表示尽可能亮的阴影（即原始颜色），而不是白色！

为了计算给定三角形 C 的基色和该像素 $h$ 处的强度的像素的确切色调，我们将逐通道相乘：
$$C_h=（R_C\cdot h，G_C\cdot h，B_C\cdot h）$$
因此，$h=0.0$ 产生纯黑色，$h=1.0$ 产生原始颜色 C，$h=0.5$ 产生的颜色是原始颜色的一半亮度。

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二、Computing Edge Shading - 计算边缘着色

为了绘制一个带阴影的三角形，我们需要做的就是为三角形的每个像素计算一个 $h$ 值，计算相应的颜色阴影，然后绘制像素。

然而，在这一点上，我们只知道三角形顶点的 $h$ 值，因为我们选择了它们。我们如何计算三角形其余部分的 $h$ 值？

让我们从三角形的边缘开始。考虑边缘 $AB$。我们知道$h_A$和$h_B$。在 $AB$ 的中点 $M$ 处会发生什么？

由于我们希望强度从 $A$ 到 $B$ 平滑变化，因此 $h_M$ 的值必须在 $h_A$ 和$h_B$之间。既然 $M$ 在 $AB$ 的中间，为什么不选择 $h_M$ 在 $h_A$ 和$h_B$的中间，也就是它们的平均值呢？

更正式地说，我们有一个函数 $h=f(P)$，它给每个点 $P$ 一个强度值 $h$; 我们知道它在 $A$ 和 $B$ 处 $f$ 分别的值，$$h(A)=h_A$$和 $$h(B)=h_B$$
我们希望这个函数是平滑的。由于我们对 $h=f(P)$一无所知，因此我们可以选择任何与我们所知的函数兼容的函数，例如线性函数（图8-2）。

Figure 8-2: A linear function h§, compatible with what we know about h(A) and h(B)

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这与前一章的情况非常相似：我们有一个线性函数 $$x=f(y)$$
我们知道这个函数在三角形顶点的值，我们想计算沿其边的 $x$ 值。
我们可以以非常相似的方式沿三角形的边 计算 $h$ 的值，使用 以 $y$ 作为自变量的插值（我们知道）和 $h$ 作为因变量（我们想要的值）：

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x01 = Interpolate(y0, x0, y1, x1)
h01 = Interpolate(y0, h0, y1, h1)x12 = Interpolate(y1, x1, y2, x2)
h12 = Interpolate(y1, h1, y2, h2)x02 = Interpolate(y0, x0, y2, x2)
h02 = Interpolate(y0, h0, y2, h2)

接下来，我们将 $x$ 数组连接为**“短”**边，然后确定 x02 和 x012 中的哪一个x_left，哪个x_right。同样，我们可以在这里对 $h$ 向量做一些非常相似的事情。

但是，我们将始终使用 $x$ 值来确定哪一侧是左边，哪一侧是右边，$h$ 值只会“跟随”。
$x$ 和 $h$ 是屏幕上实际点的属性，因此我们不能自由混合搭配左右两侧的值。

我们可以按如下方式编码:

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// Concatenate the short sides
remove_last(x01)
x012 = x01 + x12remove_last(h01)
h012 = h01 + h12// Determine which is left and which is right
m = floor(x012.length / 2)
if x02[m] < x012[m] 
{x_left = x02h_left = h02x_right = x012h_right = h012
} 
else 
{x_left = x012h_left = h012x_right = x02h_right = h02
}

这与上一章（示例 7-1）中代码的相关部分非常相似，只是每次我们使用 $x$ 向量做某事时，我们对相应的 $h$ 向量执行相同的操作。

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三、Computing Interior Shading - 计算内部着色

最后一步是绘制实际的水平 段 。对于每个细分 段 ，我们知道 x_left 和 x_right ，如上一章所述; 现在我们也知道 h_left 和 h_right 。但这次我们不能只是从左到右迭代并用基色绘制每个像素：我们需要为这个 段 的每个像素计算 $h$ 值。

同样，我们可以假设 $h$随 $x$ 线性变化，并使用插值来计算这些值。在这种情况下，自变量是$x$，它从我们着色的特定水平 段 的 x_left 值变为 x_right 值；

因变量为$h$，其对应的 x_left 和 x_right 值为该段的 h_left 和 h_right：

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x_left_this_y = x_left[y - y0]
h_left_this_y = h_left[y - y0]x_right_this_y = x_right[y - y0]
h_right_this_y = h_right[y - y0]h_segment = Interpolate(x_left_this_y, h_left_this_y,x_right_this_y, h_right_this_y)

或者，用更紧凑的方式表示：

h_segment = Interpolate(x_left[y - y0], h_left[y - y0],x_right[y - y0], h_right[y - y0])

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现在只需计算每个像素的颜色并绘制它！示例 8-1 显示了 DrawShadedTriangle 的完整伪代码。

DrawShadedTriangle (P0, P1, P2, color) 
{❶ // Sort the points so that y0 <= y1 <= y2if y1 < y0 { swap(P1, P0) }if y2 < y0 { swap(P2, P0) }if y2 < y1 { swap(P2, P1) }// Compute the x coordinates and h values of the triangle edgesx01 = Interpolate(y0, x0, y1, x1)h01 = Interpolate(y0, h0, y1, h1)x12 = Interpolate(y1, x1, y2, x2)h12 = Interpolate(y1, h1, y2, h2)x02 = Interpolate(y0, x0, y2, x2)h02 = Interpolate(y0, h0, y2, h2)// Concatenate the short sidesremove_last(x01)x012 = x01 + x12remove_last(h01)h012 = h01 + h12// Determine which is left and which is rightm = floor(x012.length / 2)if x02[m] < x012[m] {x_left = x02h_left = h02x_right = x012h_right = h012} else {x_left = x012h_left = h012x_right = x02h_right = h02}// Draw the horizontal segments❷ for y = y0 to y2 {x_l = x_left[y - y0]x_r = x_right[y - y0]❸ h_segment = Interpolate(x_l, h_left[y - y0], x_r, h_right[y - y0])for x = x_l to x_r {❹ shaded_color = color * h_segment[x - x_l]canvas.PutPixel(x, y, shaded_color)}}
}

Listing 8-1: A function for drawing shaded triangles

该函数的伪代码与上一章（示例7-1）中开发的函数非常相似。
在水平段循环之前❷, 我们以类似的方式操纵 $x$ 向量和 $h$ 向量，如上所述。
在循环中，我们有一个额外的调用Interpolate❸ 以计算当前水平段中每个像素的$h$值。
最后，在内部循环中，我们使用$h$的插值来计算每个像素的颜色❹.

注意，我们对三角形顶点的排序与之前一样❶. 然而，我们现在认为这些顶点及其属性（如强度值 $h$ ）是一个不可分割的整体；也就是说，交换两个顶点的坐标也必须交换它们的属性。

您可以在以下位置找到此算法的实时实现 https://gabrielgambetta.com/computer-graphics-from-scratch/demos/raster-04.html

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四、Summary - 概括

在本章中，我们扩展了上一章中开发的三角形绘制代码，以支持平滑着色的三角形。请注意，我们仍然可以使用它来绘制单色三角形，方法是使用 1.0 作为所有三个顶点的 $h$ 值。

这个算法背后的想法实际上比看起来更通用。$h$ 是强度值的事实对算法的“形状”没有影响; 我们只在最后，当我们要调用 PutPixel 时，才为这个值赋予意义。这意味着我们可以使用此算法来计算三角形顶点的任何属性的值，对于三角形的每个像素，只要我们假设该值在屏幕上线性变化。

在接下来的章节中，我们确实会使用这个算法来改善三角形的视觉外观。

然而，在下一章中，我们要绕道而行。掌握了在2D画布上绘制三角形后，我们将把注意力转向三维。

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