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最大连续子列和

news 2025/6/26 16:16:21

给定一个数组，求它的最大连续子列和。

这个问题有四种解法。

1、暴力循环(O(n^3))

分析这个问题，既然是子列，那么它最长为n，最短为1。要想求和我们一般需要知道这个子列的左端下标和右端下标，再求这个子列的和。最简单的办法就是用暴力循环来求和。

首先我们需要定义左端下标i，每次循环i++。接下来是右端下标j，j的初值为i，因为右端下标总是大于等于左端下标，每次循环j++。知道了左端下标i和右端下标j之后，再从i到j循环求和就行了。

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N=1*10^6;int main()
{int n;cin>>n;int a[N];int sum=0,maxsum=0;for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];for(int i=0;i<n;i++){for(int j=i;j<n;j++){sum=0;for(int k=i;k<=j;k++) sum+=a[k];if(sum>maxsum) maxsum=sum;}}cout<<maxsum;return 0;
}

2、暴力循环的改进(O(n^2))

第一种算法显然时间复杂度太高了，可以进行改进，减少一层循环。

当左端下标i和右端下标j确定时，知道a[i]~a[j]的和，如果要求a[i]~a[j+1],按照第一种算法，需要重新遍历一遍a[i]~a[j]的数组，再把a[j+1]加上。思考后，我们发现，如果已知a[i]~a[j]的和sum，我们只需要让sum+a[j+1]就可以得到a[i]~a[[j+1]的和。因此我们就可以使用两层循环就可以解决这个问题。

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N=1*10^6;int main()
{int n;cin>>n;int a[N];int sum=0,maxsum=0;for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];for(int i=0;i<n;i++){sum=0;for(int j=i;j<n;j++){sum+=a[j];if(sum>maxsum) maxsum=sum;}}cout<<maxsum;return 0;
}

值得注意的是，第一个算法中sum重置为0是在第二个循环里，第二个sum重置为0是在第一层循环里。原因是第一个算法的第三层循环是循环累加求值，所以每次循环前要重置为0，而第二个算法简化后，左端i确定后，利用累加的方法记录以左端i为首长度为1~n-i+1的各子列的和，所以在第一重循环确定新的左端i后，就要重置sum。

3、分治(O(n*logn))

当我们看到一个算法的时间复杂度是O(n^2)的时候，我们就可以思考这个算法能不能经过改进将时间复杂度降为O(n*logn)

这个问题也可以用分治的方法来解决。(有时候想想这些算法题真操蛋，万物可分治可二分可递归了^_^)

分治是将大的问题划分成小的问题，最后整合结果的方法。分是划分，治是整合结果。

怎么分治呢？我们考虑到，把整个数列从中间切开，最大子列和=max(左边数列最大子列和,右边数列子列和，跨越边界的子列和)，跨越边界的子列和就是左右两边的数都包含的情况。利用这个办法，不断地将子列切片，进行分治，最终就能求得整个数列的最大子列和。

代码有点复杂，回头有空再写吧^_^

4、在线处理！(O(n))!

这是对于最大子列和最好最快的算法。

这个算法的思想是，从左到右累加每个数得到sum，如果sum>maxsum，更新maxsum=sum，如果sum<0，将sum重置为0。输出最后的sum值。

为什么这个算法是正确的呢？如果任意一个子列和小于0，那么这个子列一定不会位于和最大子列的左侧，因为一个负数对于整个数列的和是没有贡献的。

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N=1*10^6;int main()
{int n;cin>>n;int a[N];int sum=0,maxsum=-1*10^6;for(int i=0;i<n;i++){cin>>a[i];sum+=a[i];if(sum<0) sum=0;if(sum>maxsum) maxsum=sum;}cout<<maxsum;return 0;
}

为什么，我把maxsum设为负数呢，因为有的算法题给的数据实在变态，你必须考虑符合题意的每一种极端情况。把maxusm设置为负数，我是考虑到，只有一个元素且为负数的情况。

为什么它叫在线处理呢？因为它可以边输入边计算，只需要一个循环。而算法复杂度只能这么小了，毕竟输入数据的算法也需要O(n)。

这四种算法思想均来自中国大学mooc陈越老师的数据结构课。