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囚徒困境——从博弈论的角度解释“美女配丑男”

news 2025/7/13 17:22:43

前言

有一种很常见的现象，美女配丑男。其实这种现象背后是有一定科学原理的。本文将从博弈论的角度，从囚徒困境出发解释这一现象产生的原因。

囚徒困境

囚徒困境的经典案例

先来介绍一下经典的囚徒困境。
警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人入罪。于是警方分开囚禁嫌疑犯，分别和二人见面，并向双方提供以下相同的选择：
若一人认罪并作证检控对方（相关术语称“背叛”对方），而对方保持沉默，此人将即时获释，沉默者将判监10年。
若二人都保持沉默（相关术语称互相“合作”），则二人同样判监1年。
若二人都互相检举（相关术语称互相“背叛”），则二人同样判监8年。
我们可以写出两名嫌疑犯的支付矩阵，用（a,b）表示甲和乙做出某种选择时，甲要关a年，乙要关b年。

甲\乙	合作	背叛
合作	（1，1）	（10，0）
背叛	（0，10）	（8，8）

囚徒困境的解释

先假设甲和乙没有任何沟通机会，互相不知道对方的想法。再假设甲和乙都是自私的，目标是实现自己的利益最大化。根据支付矩阵，可以看到，甲无论选择什么，乙选择背叛的结果一定优于选合作的结果。比如，甲选合作，乙如果选合作要关1年，而选背叛则可以无罪释放。于是，如果乙事先知道甲会选合作，则乙一定会选背叛。同样，假设甲选背叛，乙如果选合作需要关10年，乙如果选背叛只需要关8年。于是，如果乙提前知道甲会选背叛，则乙一定会选择背叛，于是无论甲选择什么，乙都一定会选择背叛。出于同样的考虑，甲出于实现自己的利益最大化也一定会选择背叛。这样一来，明明两个人都合作才会达到最好的选择，但是两个人都会选择背叛。

囚徒困境的意义

囚徒困境说明了一个道理，非零和博弈中，帕累托最优（总体最优）和纳什均衡（两个人出于个人利益做出的选择）是相冲突的。

囚徒困境的破解

要破解囚徒困境，需要借助一定的外力。比如，让两个囚徒进行充分的沟通，商量对策，或者两个人非常相信对方，或者借助第三方的力量对背叛方进行惩罚。

美女配丑男

概念

美女配丑男，通俗地讲，就是一朵鲜花插在牛粪上。其实在现实生活中，这种现象并不少见。那么我从博弈论的角度来解释一下美女配丑男背后的数学原理。

假设

为了更好地解释这个现象，我们需要给出一些假设。假设有一个帅哥，一个美女，和一个丑男。帅哥暗恋美女，美女暗恋帅哥，但是他们互相不知道。丑男也喜欢美女，且美女知道丑男喜欢她（丑男毫无顾虑，大胆表白就完事了，被拒了就被拒了，脸皮比较厚）。美女现在比较想谈恋爱，对于她来说，跟丑男谈恋爱总比单身好（丑男只是相对帅哥来说比较丑，其实也没那么丑）。

现象解释

现在我们试着写一下帅哥和美女的支付矩阵。用（a,b）表示帅哥和美女做了某种选择之后，帅哥的快乐程度为a，美女的快乐程度为b。假设帅哥和美女现在面临两种选择，表白和不表白。假设帅哥和美女都认为自己表白成功的概率为50%（一半的概率成功，一半的概率被拒绝）。如果帅哥和美女都同时表白，那么他们就幸福地在一起了，这个时候两个人的幸福程度都是100分。如果帅哥表白，那么有50%的概率表白成功，帅哥的幸福程度是100分；50%的概率表白失败，帅哥会觉得非常丢人，并且暂时失去了被其它女生追求的机会，所以幸福程度为-50分。而因为假设美女喜欢帅哥，所以一旦帅哥表白，美女一定会接受（但是帅哥不知道），而且被自己喜欢的人表白本身就是一种特别幸福的事情，所以美女的幸福程度是120分。那么帅哥表白且女生不表白时，帅哥的期望幸福程度就是 $50\%*100+50\%*(-50)=25分$ ，美女的幸福程度是120分。同理，美女表白，帅哥不表白的情况下，帅哥的幸福程度为120分，美女的期望幸福程度为25分。再来看看，两个人都不表白的情况。这种情况下，美女比较想谈恋爱，又不主动跟帅哥表白，而有一个丑男却一直在追她，对她好，还跟她表白了，那么此时她会接受丑男的表白，跟丑男在一起。此时美女的幸福程度为40分。虽然不如跟帅哥在一起那么幸福，但也比单身一个人过好，毕竟，还能有一个一直对你好的人。同理，帅哥的幸福程度也是40分。那么我们就能写出支付矩阵了。

帅哥\美女	表白	不表白
表白	（100，100）	（25，120）
不表白	（120，25）	（40，40）

有没有发现，这个矩阵跟囚徒困境的矩阵很像。出于自己的利益最大化，无论帅哥选不选择表白，美女都会选择不表白。因为无论帅哥怎么选择，美女选择不表白对自己来说幸福程度更高。所以这样一来，帅哥和美女都会选择不表白（这种选择是该支付矩阵的纳什均衡）。拿美女和帅哥都不表白，美女不就只能跟丑男在一起了吗？所以，美女配丑男是一种纳什均衡。