Python(符号计算常微分方程)谐振子牛顿运动方程
牛顿运动方程
牛顿运动方程可以写成以下形式
F = d p d t = m d v d t = m d 2 r d t 2 \mathbf{F}=\frac{d \mathbf{p}}{d t}=m \frac{d \mathbf{v}}{d t}=m \frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2} F=dtdp=mdtdv=mdt2d2r
恒力问题
具有恒定力的问题意味着恒定的加速度。 典型的例子是一个在倾斜平面上滑动的块，其中质量为 m m m 的块同时受到重力和摩擦力的作用。 合力 F F F 由重力 F g F_g Fg 、法向力 N N N 和摩擦力 f f f_f ff 的矢量和给出
F = F g + N + f f = m a \mathbf{F}=\mathbf{F}_g+\mathbf{N}+\mathbf{f}_f=m \mathbf{a} F=Fg+N+ff=ma
线性恢复力
一类重要的问题是线性恢复力，服从胡克定律。这种情况下的运动方程是
F ( x ) = − k x = m x ¨ F(x)=-k x=m \ddot{x} F(x)=−kx=mx¨
符号计算谐振子牛顿运动方程
不考虑摩擦简单示例
让我们从一个简单的物理学原型微分方程开始：谐振子。 这个方程式出现在物理学的所有领域，不同的背景下：不仅是力学，还有电动力学、量子力学、固态物理学等等。 谐振子的牛顿运动方程为
x ¨ + ω 2 x = 0 \ddot{x}+\omega^2 x=0 x¨+ω2x=0
考虑摩擦示例
到目前为止，我们的谐振子是自由的，没有感觉到任何摩擦。我们将在常微分方程中添加一个与速度成正比的摩擦项：
x ¨ + 2 β x ˙ + ω 2 x = 0 \ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega^2 x=0 x¨+2βx˙+ω2x=0
考虑驱动力和摩擦示例
当我们在常微分方程的右侧添加一项时，这对应于添加一个驱动力。具体来说，添加正弦力：
x ¨ + 2 β x ˙ + ω 2 x = F 0 sin ω 0 t \ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega^2 x=F_0 \sin \omega_0 t x¨+2βx˙+ω2x=F0sinω0t