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如何快速给出解释——正交矩阵子矩阵的特征值的模必然不大于1

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首先快速回忆一下正交矩阵的定义:
        A为n阶实矩阵,且满足A‘A=E或是说AA’=E,那么A为正交矩阵。

       (啊,多么简洁的定义)

其次快速想到它的性质:
        ① 实特征值必然 \pm 1 或 其他复数

        ② 正交矩阵的行向量或列向量相互直接是正交的

        ③ 正交矩阵的模为1,这个很显然,给上面AA’或A’A等式两边去行列式,开平方加绝对值必然等于1

        ④ 正交阵的乘积仍然为正交阵,这个也很容易。马上来一个正交阵B,有B’B=E,那么A’A=E,给包上一层B’A’AB=B’EB=B’B=E,OK!轻而易举有正交阵AB,证毕。

        ⑤ 同时行向量或列向量的模也必然为1,这里还能推出各个元素必定小于等于1。

来个例子吧,这样更通俗易懂:

\begin{pmatrix} x& y& 0&\\ & & &\\ & & & \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x& & &\\ y& & &\\ 0& & & \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1& & & \\ & & & \\ & & & \end{pmatrix}

很明显了吧,直接明晰结论5。

如何快速给出解释——正交矩阵子矩阵的特征值的模必然不大于1

快速回忆完了,接下来就来到我们的主题:

开证,

        假设有一个n>2阶的正交矩阵A,有随便一个子方阵C(C必定存在于A中)

        记录C为s×s矩阵,其中C有一个模大于1的特征值u(复数),不妨记起特征向量为X.

        先将A做初等变换,使这个子矩阵C在对角线上。

        那么这一系列初等变换的矩阵记为D,D必然为正交阵。为啥捏?初等变换就三种,因为移到

        对角线只用平移这一种,不涉及到乘数,从单位阵再对角回去的角度,乘以转置的D必然为单

        位阵E。

        那么由上面结论③,AD为正交阵,

        不妨记现在:
        AD = \binom{C , V1}{V, V2}

        同时,AD的前n行s列我们单独拿出来。

        由结论②有(C, V)’(C, V)=E,暂记(C, V)为矩阵

        \overline{H}为H每个元素都去共轭之后的矩阵(跟共轭矩阵不是一回事哈)。显然对于实矩阵AD而言,H=\overline{H}。这里引\overline{H}的目的是 {\overline{u}}u的引出。

         {\overline{X}}'X= \overline{X}'EX={\overline{X}}'{H}'HX={\overline{X}}'{\overline{H}}'HX={\overline{X}}'({\overline{C}}'C+{\overline{V}}'V)X={\overline{X}}'{\overline{C}}'CX+{\overline{X}}'{\overline{V}}'VX=({\overline{CX}})'CX+({\overline{VX}})'VX=(\overline{u}\overline{X}')(uX)+({\overline{VX}})'VX=\overline{u}u\overline{X}'X+({\overline{VX}})'VX           

        这大串变换后,我们只需要首和尾:
        而VX是(n-s)×1实阵,相乘则每个元素相当于原元素平方必然≥0,同理:

        {\overline{X}}'X\geqslant 0

        (1-\overline{u}u)\overline{X}'X=\overline{X}'X-\overline{u}u\overline{X}'X=({\overline{VX}})'VX\geqslant 0

        \therefore {\overline{u}}u\leqslant 1

        故特征值u的模不可能大于1。

        

 

http://www.lryc.cn/news/66498.html

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