武忠祥老师每日一题||不定积分基础训练（六）
解法一：
求出 f ( x ) , 进而对 f ( x ) 进行积分。 求出f(x),进而对f(x)进行积分。 求出f(x),进而对f(x)进行积分。
令 ln x = t , 原式 f ( t ) = ln ( 1 + e t ) e t 令\ln x=t,原式f(t)=\frac{\ln (1+e^t)}{e^t} 令lnx=t,原式f(t)=etln(1+et)
则 ∫ f ( x ) d x = ∫ ln ( 1 + e x ) e x d x = ∫ ln ( 1 + e x ) e − x d x 则\int f(x)\,{\rm d}x=\int\frac{\ln(1+e^x)}{e^x}\,{\rm d}x\\=\int \ln (1+e^x)e^{-x}\,{\rm d}x 则∫f(x)dx=∫exln(1+ex)dx=∫ln(1+ex)e−xdx
= − ∫ ln ( 1 + e x ) d e − x =-\int\ln(1+e^x)\,{\rm d}{e^{-x}} =−∫ln(1+ex)de−x
= − ln ( 1 + e x ) e − x + ∫ e − x d ln ( 1 + e x ) =-\ln(1+e^x)e^{-x}+\int e^{-x}\,{\rm d}{\ln (1+e^x)} =−ln(1+ex)e−x+∫e−xdln(1+ex)
= − ln ( 1 + e x ) e − x + ∫ e − x 1 1 + e x × e x d x =-\ln(1+e^x)e^{-x}+\int e^{-x}\frac{1}{1+e^x}\times e^x\,{\rm d}x =−ln(1+ex)e−x+∫e−x1+ex1×exdx
= − ln ( 1 + e x ) e − x + ∫ 1 1 + e x d x =-\ln(1+e^x)e^{-x}+\int\frac{1}{1+e^x}\,{\rm d}x =−ln(1+ex)e−x+∫1+ex1dx
= − ln ( 1 + e x ) e − x + x − ln ( e x + 1 ) + C =-\ln(1+e^x)e^{-x}+x-\ln(e^x+1)+C =−ln(1+ex)e−x+x−ln(ex+1)+C
计算 ∫ 1 1 + e x d x : 计算\int\frac{1}{1+e^x}\,{\rm d}x: 计算∫1+ex1dx:
原式 = ∫ ( 1 + e x ) − e x 1 + e x d x 原式=\int \frac{(1+e^x)-e^x}{1+e^x}\,{\rm d}x 原式=∫1+ex(1+ex)−exdx
= ∫ ( 1 − e x 1 + e x ) d x =\int (1-\frac{e^x}{1+e^x})\,{\rm d}x =∫(1−1+exex)dx
= x − ∫ d ( e x + 1 ) 1 + e x =x-\int\frac{{\rm d}{(e^x+1)}}{1+e^x} =x−∫1+exd(ex+1)
= x − ln ( e x + 1 ) + C =x-\ln(e^x+1)+C =x−ln(ex+1)+C
解法二：
令 t = ln x ( x = e t ) ∫ f ( ln x ) d ln x 令t=\ln x(x=e^t)\int f(\ln x)\,{\rm d}{\ln x} 令t=lnx(x=et)∫f(lnx)dlnx
= ∫ ln ( 1 + x ) x × 1 x d x =\int \frac{\ln (1+x)}{x}\times \frac{1}{x}\,{\rm d}x =∫xln(1+x)×x1dx
= ∫ ln ( 1 + x ) x 2 d x =\int \frac{\ln (1+x)}{x^2}\,{\rm d}x =∫x2ln(1+x)dx
= − ∫ ln ( 1 + x ) d 1 x =-\int \ln(1+x)\,{\rm d}{\frac{1}{x}} =−∫ln(1+x)dx1
= − ln ( 1 + x ) x + ∫ 1 x × 1 x + 1 d x =-\frac{\ln (1+x)}{x}+\int\frac{1}{x}\times\frac{1}{x+1}\,{\rm d}x =−xln(1+x)+∫x1×x+11dx
= − ln ( 1 + x ) x + ln ∣ x x + 1 ∣ + C =-\frac{\ln (1+x)}{x}+\ln \lvert\frac{x}{x+1} \rvert+C =−xln(1+x)+ln∣x+1x∣+C
= − ln ( 1 + e t ) e t + ln ∣ e t e t + 1 ∣ + C =-\frac{\ln(1+e^t)}{e^t}+\ln \lvert \frac{e^t}{e^t+1}\rvert+C =−etln(1+et)+ln∣et+1et∣+C
由于积分变量为x，则所求为
− ln ( 1 + e x ) e x + ln ∣ e x e x + 1 ∣ + C -\frac{\ln(1+e^x)}{e^x}+\ln \lvert \frac{e^x}{e^x+1}\rvert+C −exln(1+ex)+ln∣ex+1ex∣+C